【題目】已知函數(shù)f(x)=(ax2+bx+c)ex(a>0)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的兩個零點為-3和0.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)的極小值為-1,求f(x)的極大值.
【答案】(1)增區(qū)間;(2)
【解析】試題分析:(1)求出導(dǎo)函數(shù)f′(x) =[ax2+(2a+b)x+b+c]ex,由題意知ax2+(2a+b)x+b+c=0,的根為-3和0.結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)由f(x)的極小值為-1確定參數(shù)值,通過研究函數(shù)的單調(diào)性求出極大值.
試題解析:
(1)f′(x)=(2ax+b)ex+(ax2+bx+c)ex=[ax2+(2a+b)x+b+c]ex.2分
令g(x)=ax2+(2a+b)x+b+c,
∵ex>0,∴y=f′(x)的零點就是g(x)=ax2+(2a+b)x+b+c的零點,
且f′(x)與g(x)符號相同.
又∵a>0,∴當(dāng)x<-3,或x>0時,g(x)>0,即f′(x)>0,
當(dāng)-3<x<0時,g(x)<0,即f′(x)<0.
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-∞,-3),(0,+∞),單調(diào)減區(qū)間是(-3,0)
(2)由(1)知,x=0是f(x)的極小值點,所以有
解得a=1,b=1,c=-1,所以函數(shù)的解析式為f(x)=(x2+x-1)ex.
又由(1)知,f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-∞,-3),(0,+∞),單調(diào)減區(qū)間是(-3,0).
所以,函數(shù)f(x)的極大值為f(-3)=(9-3-1)e-3=.
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【題目】(2017吉林延邊州模擬)已知在△ABC中,B(-1,0),C(1,0),且|AB|+|AC|=4.
(1)求動點A的軌跡M的方程;
(2)P為軌跡M上的動點,△PBC的外接圓為☉O1,當(dāng)點P在軌跡M上運動時,求點O1到x軸的距離的最小值.
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【題目】已知函數(shù)(其中是自然對數(shù)的底數(shù))
(1)若,當(dāng)時,試比較與2的大。
(2)若函數(shù)有兩個極值點,求的取值范圍,并證明:
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【題目】某市民用水?dāng)M實行階梯水價,每人用水量中不超過立方米的部分按4元/立方米收費,超出立方米的部分按10元/立方米收費,從該市隨機(jī)調(diào)查了10000位居民,獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù),整理得到如下頻率分布直方圖:
(1)如果為整數(shù),那么根據(jù)此次調(diào)查,為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米, 至少定為多少?
(2)假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替,當(dāng)時,估計該市居民該月的人均水費.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào),求實數(shù)的取值范圍;
(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若且,求證: .
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【題目】已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且4Sn=an2+2an﹣3.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)已知bn=2n,求Tn=a1b1+a2b2+…+anbn的值.
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【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程是 (α為參數(shù)),以坐標(biāo)原點O為極點,x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程;
(2)設(shè) ,若l1,l2與曲線C分別交于異于原點的A,B兩點,求△AOB的面積.
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【題目】一個幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的表面積為(單位:m2)( )
A. (11+4)π B. (12+4)π C. (13+4)π D. (14+4)π
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【題目】一個化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料,生產(chǎn)1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4噸,硝酸鹽18噸;生產(chǎn)1車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1噸,硝酸鹽15噸.現(xiàn)庫存磷酸鹽10噸,硝酸鹽66噸,在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種混合肥料.如果生產(chǎn)1車皮甲種肥料產(chǎn)生的利潤為12 000元,生產(chǎn)1車皮乙種肥料產(chǎn)生的利潤為7 000元,那么可產(chǎn)生的最大利潤是( )
A. 29 000元 B. 31 000元 C. 38 000元 D. 45 000元
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