Question

【題目】已知函數(shù)（其中,且為常數(shù)）.

(1)若對于任意的，都有成立，求的取值范圍；

(2)在(1)的條件下，若方程在上有且只有一個實根，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或或

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)f′（x）=2（x﹣1）+a（﹣1）=（x﹣1）（2﹣），且f（1）=0+a（ln1﹣1+1）=0，從而討論以確定函數(shù)的單調(diào)性，從而解得；

（2）化簡f（x）+a+1=（x﹣1）2+a（lnx﹣x+1）+a+1，從而討論以確定函數(shù)的單調(diào)性，從而解得．

試題解析：

解（1）…

當(dāng)時,對于恒成立,在上單調(diào)遞增

,此時命題成立；

當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

當(dāng)時,有.這與題設(shè)矛盾.

故的取值范圍是…

（2）依題意,設(shè),

原題即為若在上有且只有一個零點,求的取值范圍.

顯然函數(shù)與的單調(diào)性是一致的.

當(dāng)時,因為函數(shù)在區(qū)間上遞減,上遞增,

所以在上的最小值為,

由于,要使在上有且只有一個零點,

需滿足或,解得或;

當(dāng)時,因為函數(shù)在上單調(diào)遞增,

且,

所以此時在上有且只有一個零點;

當(dāng)時,因為函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

又因為,所以當(dāng)時,總有,

,

所以在上必有零點,又因為在上單調(diào)遞增,

從而當(dāng)時,在上有且只有一個零點.

綜上所述,當(dāng)或或時,

方程在上有且只有一個實根.