【題目】已知在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,E、F分別是線段AB、BC的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:PF⊥FD;
(Ⅱ)判斷并說明PA上是否存在點(diǎn)G,使得EG∥平面PFD;
(Ⅲ)若PB與平面ABCD所成的角為45°,求二面角A﹣PD﹣F的余弦值.
【答案】解:解法一:(Ⅰ)∵PA⊥平面ABCD,∠BAD=90°,AB=1,AD=2,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz, 則A(0,0,0),B(1,0,0),F(xiàn)(1,1,0),D(0,2,0).
不妨令P(0,0,t)∵ ,
∴ ,
即PF⊥FD.
(Ⅱ)設(shè)平面PFD的法向量為 ,
由 ,得 ,令z=1,解得: .
∴ .
設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0,m), ,則 ,
要使EG∥平面PFD,只需 ,即 ,
得 ,從而滿足 的點(diǎn)G即為所求.
(Ⅲ)∵AB⊥平面PAD,
∴ 是平面PAD的法向量,易得 ,
又∵PA⊥平面ABCD,
∴∠PBA是PB與平面ABCD所成的角,
得∠PBA=45°,PA=1,平面PFD的法向量為
∴ ,
故所求二面角A﹣PD﹣F的余弦值為 .
解法二:(Ⅰ)證明:連接AF,則 , ,
又AD=2,∴DF2+AF2=AD2 ,
∴DF⊥AF(2分)
又PA⊥平面ABCD,
∴DF⊥PA,又PA∩AF=A,
∴
(Ⅱ)過點(diǎn)E作EH∥FD交AD于點(diǎn)H,則EH∥平面PFD,且有
再過點(diǎn)H作HG∥DP交PA于點(diǎn)G,則HG∥平面PFD且 ,
∴平面GEH∥平面PFD
∴EG∥平面PFD.
從而滿足 的點(diǎn)G即為所求
(Ⅲ)∵PA⊥平面ABCD,
∴∠PBA是PB與平面ABCD所成的角,且∠PBA=45°.
∴PA=AB=1
取AD的中點(diǎn)M,則FM⊥AD,F(xiàn)M⊥平面PAD,在平面PAD中,過M作MN⊥PD于N,連接FN,則PD⊥平面FMN,則∠MNF即為二面角A﹣PD﹣F的平面角
∵Rt△MND∽R(shí)t△PAD,
∴ ,
∵ ,且∠FMN=90°
∴ , ,
∴
【解析】解法一(向量法)(I)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz,分別求出直線PF與FD的平行向量,然后根據(jù)兩個(gè)向量的數(shù)量積為0,得到PF⊥FD;(Ⅱ)求出平面PFD的法向量(含參數(shù)t),及EG的方向向量,進(jìn)而根據(jù)線面平行,則兩個(gè)垂直數(shù)量積為0,構(gòu)造方程求出t值,得到G點(diǎn)位置;(Ⅲ)由 是平面PAD的法向量,根據(jù)PB與平面ABCD所成的角為45°,求出平面PFD的法向量,代入向量夾角公式,可得答案. 解法二(幾何法)(I)連接AF,由勾股定理可得DF⊥AF,由PA⊥平面ABCD,由線面垂直性質(zhì)定理可得DF⊥PA,再由線面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF,再由線面垂直的性質(zhì)定理得到PF⊥FD;(Ⅱ)過點(diǎn)E作EH∥FD交AD于點(diǎn)H,則EH∥平面PFD,且有 ,再過點(diǎn)H作HG∥DP交PA于點(diǎn)G,則HG∥平面PFD且 ,由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD,進(jìn)而由面面平行的性質(zhì)得到EG∥平面PFD.從而確定G點(diǎn)位置;(Ⅲ)由PA⊥平面ABCD,可得∠PBA是PB與平面ABCD所成的角,即∠PBA=45°,取AD的中點(diǎn)M,則FM⊥AD,F(xiàn)M⊥平面PAD,在平面PAD中,過M作MN⊥PD于N,連接FN,則PD⊥平面FMN,則∠MNF即為二面角A﹣PD﹣F的平面角,解三角形MNF可得答案.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用空間中直線與直線之間的位置關(guān)系和直線與平面平行的判定,掌握相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn);平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點(diǎn);異面直線: 不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒有公共點(diǎn);平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線線平行,則線面平行即可以解答此題.
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【題目】某旅游愛好者計(jì)劃從3個(gè)亞洲國(guó)家A1,A2,A3和3個(gè)歐洲國(guó)家B1,B2,B3中選擇2個(gè)國(guó)家去旅游.
(1)若從這6個(gè)國(guó)家中任選2個(gè),求這2個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的概率;
(2)若從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各選1個(gè),求這兩個(gè)國(guó)家包括A1,但不包括B1的概率.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(x+1),g(x)=kx(k∈R).
(1)證明:當(dāng)x>0時(shí),f(x)<x;
(2)證明:當(dāng)k<1時(shí),存在x0>0,使得對(duì)任意的x∈(0,x0),恒有f(x)>g(x).
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【題目】在平面幾何中有如下結(jié)論:正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1 , 外接圓面積為S2 , 則 ,推廣到空間可以得到類似結(jié)論;已知正四面體P﹣ABC的內(nèi)切球體積為V1 , 外接球體積為V2 , 則 = .
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【題目】綜合題。
(1)已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,|z|=1,且z+ =1,求z;
(2)已知復(fù)數(shù)z= ﹣(1+5i)m﹣3(2+i)為純虛數(shù),求實(shí)數(shù)m的值.
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(Ⅱ)已知直線l:y=kx+m與軌跡F交于不同兩點(diǎn)A,B,點(diǎn)G是線段AB中點(diǎn),射線OG交軌跡Γ于點(diǎn)Q,且 =λ ,λ∈R.
①證明:λ2m2=4k2+1;
②求△AOB的面積S(λ)的解析式,并計(jì)算S(λ)的最大值.
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【題目】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,M,N是棱A1B1 , B1B的中點(diǎn),求異面直線AM和CN所成角的余弦值.
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【題目】已知f(x)=a(x-lnx)+,a∈R.
(I)討論f(x)的單調(diào)性;
(II)當(dāng)a=1時(shí),證明f(x)>f’(x)+對(duì)于任意的x∈[1,2] 恒成立。
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A.(0, )
B.(0,3)
C.( ,6)
D.(0,6)
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