Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點P是圓x2+y2=4上一動點，PD⊥x軸于點D，記滿足 = （ + ）的動點M的軌跡為Γ． （Ⅰ）求軌跡Γ的方程；
（Ⅱ）已知直線l：y=kx+m與軌跡F交于不同兩點A，B，點G是線段AB中點，射線OG交軌跡Γ于點Q，且 =λ ，λ∈R．
①證明：λ2m2=4k2+1；
②求△AOB的面積S（λ）的解析式，并計算S（λ）的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設M（x，y），P（x0 ， y0），則D（x0 ， 0），且x02+y02=4，① ∵ = （ + ），
∴x0=x，y0=2y，②
②代入①可得x2+4y2=4；
（Ⅱ）①證明：設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
由直線代入橢圓方程，消去y，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
∴x1+x2= ，x1x2= （1）
∴y1+y2=k（x1+x2）+2m= ，
又由中點坐標公式，得G（ ， ），
將Q（ ， ）代入橢圓方程，化簡，得λ2m2=1+4k2 ， （2）．
②解：由（1），（2）得m≠0，λ＞1且|x1﹣x2|= ，（3）
結合（2）、（3），得S△AOB= ，λ∈（1，+∞），
令 =t∈（0，+∞），則S= ≤ ≤1（當且僅當t=1即λ= 時取等號），
∴λ= 時，S取得最大值1
【解析】（Ⅰ）利用代入法求橢圓方程；（Ⅱ）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），由直線代入橢圓方程，消去y，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用根的判別式、韋達定理、中點坐標公式，結合已知條件能證明結論．②由已知條件得m≠0，|x1﹣x2|= ，由此能求出△AOB的面積，再利用基本不等式求最大值．