Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ln（x+1），g（x）=kx（k∈R）．
（1）證明：當x＞0時，f（x）＜x；
（2）證明：當k＜1時，存在x0＞0，使得對任意的x∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）．

Answer 1

【答案】
（1）解：令F（x）=f（x）﹣x=ln（1+x）﹣x，x∈（0，+∞），

則有F′（x）= ﹣1=﹣ ．

當x∈（0，+∞）時，F(xiàn)′（x）＜0，所以F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；

故當x＞0時，F(xiàn)（x）＜F（0）=0，即當x＞0時，f（x）＜x

（2）解：令G（x）=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，x∈（0，+∞），

則有G′（x）= ﹣k= ．

當k≤0時G′（x）＞0，所以G（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

G（x）＞G（0）=0，故對任意正實數(shù)x0均滿足題意．

當0＜k＜1時，令G′（x）=0，得x= = ﹣1＞0．

取x0= ﹣1，對任意x∈（0，x0），恒有G′（x）＞0，

從而G（x）在（0，x0）上單調(diào)遞增，G（x）＞G（0）=0，即f（x）＞g（x）

【解析】（1）構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）﹣x=ln（1+x）﹣x，x∈（0，+∞），利用函數(shù)F（x）的單調(diào)性，只需求出F（x）值域即可；（2）構(gòu)造函數(shù)G（x）=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，x∈（0，+∞），利用其單調(diào)性，討論其值域情況即可．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減，以及對函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的理解，了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．