設(shè)f(x)=log2,F(x)=+f(x).
(1)試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并用函數(shù)單調(diào)性定義,給出證明;
(2)若f(x)的反函數(shù)為f-1(x),證明: 對任意的自然數(shù)n(n≥3),都有f-1(n)>;
(3)若F(x)的反函數(shù)F-1(x),證明: 方程F-1(x)=0有惟一解.
(1) F(x)在(-1,1)上是增函數(shù),(2)證明略 (3)證明略
(1)由>0,且2-x≠0得F(x)的定義域?yàn)?-1,1),
設(shè)-1<x1<x2<1,則
F(x2)-F(x1)=()+()
,
∵x2-x1>0,2-x1>0,2-x2>0,∴上式第2項(xiàng)中對數(shù)的真數(shù)大于1.
因此F(x2)-F(x1)>0,F(x2)>F(x1),∴F(x)在(-1,1)上是增函數(shù).
(2)證明: 由y=f(x)=得 2y=,
∴f-1(x)=,∵f(x)的值域?yàn)镽,∴f--1(x)的定義域?yàn)镽.
當(dāng)n≥3時(shí),
f-1(n)>.
用數(shù)學(xué)歸納法易證2n>2n+1(n≥3),證略.
(3)證明:∵F(0)=,∴F-1()=0,∴x=是F-1(x)=0的一個(gè)根.
假設(shè)F-1(x)=0還有一個(gè)解x0(x0≠),則F-1(x0)=0,于
是F(0)=x0(x0≠). 這是不可能的,故F-1(x)=0有惟一解.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:044
設(shè)f(x)=log2+log2(x-1)+log2(p-x),
(1)求函數(shù)f(x)的定義域;
(2)f(x)是否存在最大值或最小值?如果存在,請把它求出來;如果不存在,請說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:數(shù)學(xué)教研室 題型:044
(1)求函數(shù)f(x)的定義域;
(2)f(x)是否存在最大值或最小值?如果存在,請把它求出來;如果不存在,請說明理由。
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