設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為A,值域為B,如果存在函數(shù)x=g(t),使得函數(shù)y=f(g(t))的值域仍然是B,那么稱函數(shù)x=g(t)是函數(shù)f(x)的一個等值域變換.
(1)判斷下列函數(shù)x=g(t)是不是函數(shù)f(x)的一個等值域變換?說明你的理由.
①f(x)=2x+1,x∈R,x=g(t)=t2-2t+3,t∈R;
②f(x)=x2-x+1,x∈R,x=g(t)=2t,t∈R;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=log2(x2-x+1),g(t)=at2+2t+1,若函數(shù)x=g(t)是函數(shù)f(x)的一個等值域變換,求實數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)已知等值域變換的定義,分別求出f(x)和g(x)的值域和定義域,對①②進行一一驗證,從而求解;
(2)已知函數(shù)f(x)=log2(x2-x+1),g(t)=at2+2t+1,求出其值域和定義域,分三種情況進行討論:①a>0;②a=0;③a<0,從而求解;
解答:解:(1)①函數(shù)f(x)=2x+1,x∈R的值域為R,
∵x=t2-2t+3=(t-1)2+2≥2,
∴y=f(g(t))=2[(t-1)2+2]+1≥5,
所以,x=g(t)不是f(x)的一個等值域變換
f(x)=x2-x+1=(x-
1
2
)2+
3
4
3
4
,
即f(x)的值域為[
3
4
,+∞)
,
當t∈R時,f(g(t))=(2t-
1
2
)2+
3
4
3
4
,
即y=f(g(t))的值域仍為[
3
4
,+∞)
,
所以x=g(t)是f(x)的一個等值域變換;
(2)由x2-x+1>0解得x∈R
函數(shù)f(x)=log2(x2-x+1)=log2[(x-
1
2
)2+
3
4
]≥log2
3
4

即f(x)的值域為[log2
3
4
,+∞)

①若a>0,函數(shù)g(t)=at2+2t+1有最小值1-
1
a

只需1-
1
a
1
2
,即0<a≤2,
就可使函數(shù)y=f(g(t))的值域仍為[log2
3
4
,+∞)

②若a=0,函數(shù)g(t)=at2+2t+1=2t+17的值域為R,
函數(shù)y=f(g(t))的值域仍為[log2
3
4
,+∞)

③若a<0,函數(shù)g(t)=at2+2t+110有最大值1-
1
a

只需1-
1
a
1
2
,即a<0,
就可使函數(shù)y=f(g(t))的值域仍為[log2
3
4
,+∞)

綜上可知:實數(shù)a的取值范圍為(-∞,2].
點評:此題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì),考查新定義,解題的關(guān)鍵的是能夠讀懂新定義,利用了分類討論的思想,是一道綜合題;
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3
2
)與b=f(
15
2
)的大小關(guān)系為
a>b
a>b

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1
4
]
時,f(x)≥2x恒成立.則f(
3
7
)+f(
5
9
)
=
1
1

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