【題目】以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系,已知過點(diǎn)且斜率為1的直線與曲線是參數(shù))交于兩點(diǎn),與直線交于點(diǎn).

1)求曲線的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程;

2)若的中點(diǎn)為,比較的大小關(guān)系,并說明理由.

【答案】1;2,詳見解析

【解析】

1)將方程消參得到,即為曲線C的普通方程,利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系,將化為,即為直線的直角坐標(biāo)方程;

2)聯(lián)立消去y,設(shè)點(diǎn),則由中點(diǎn)公式,得點(diǎn)M的坐標(biāo)是,由韋達(dá)定理得到點(diǎn)M的坐標(biāo)是(4,3),聯(lián)立,求得點(diǎn)N的坐標(biāo)是,應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式和弦長(zhǎng)公式求得的值,比較可得結(jié)果.

1)由得:

故曲線C的普通方程是;

及公式

故直線的直角坐標(biāo)方程是.

2)因?yàn)橹本過點(diǎn)且斜率為1,

所以根據(jù)點(diǎn)斜式得,直線的方程為,即.

曲線C是以點(diǎn)為圓心,為半徑的圓,

聯(lián)立消去y.

設(shè)點(diǎn),,則由中點(diǎn)公式,得點(diǎn)M的坐標(biāo)是.

由韋達(dá)定理,得,,所以

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是(4,3).

聯(lián)立解得,故點(diǎn)N的坐標(biāo)是.

所以由兩點(diǎn)間的距離公式,得.

所以由弦長(zhǎng)公式,得弦長(zhǎng).

因?yàn)?/span>

所以..

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