Question

如圖，三棱柱中，所有棱長(zhǎng)均為2，，，平面⊥平面，分別是上的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的大小．

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）證明線面平行常用方法：一是利用線面平行的判定定理，二是利用面面平行的性質(zhì)定理，三是利用面面平行的性質(zhì)；（2）證明線面垂直的方法：一是線面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性質(zhì)定理；三是平行線法（若兩條平行線中的一條垂直于這個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．解題時(shí)，注意線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化；(3）空間向量將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，應(yīng)用的核心是要充分認(rèn)識(shí)形體特征，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，實(shí)施幾何問題代數(shù)化．同時(shí)注意兩點(diǎn)：一是正確寫出點(diǎn)、向量的坐標(biāo)，準(zhǔn)確運(yùn)算；二是空間位置關(guān)系中判定定理與性質(zhì)定理?xiàng)l件要完備．

試題解析：【解析】
（1）方法一：如圖取中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連結(jié)

則，且，同理，且

故，且

所以四邊形是平行四邊形， 3分

，又平面，GH平面

平面 5分

方法二：如圖，取中點(diǎn)，連結(jié)

則，又平面，平面

平面 2分

同理可證平面，又

故平面平面 4分

又平面

故平面 5分

（2）方法一：如（1）方法二所示，取中點(diǎn)，則，

又平面⊥平面，且平面，故平面 7分

從而在平面上的射影為，

故就是直線與平面所成的角． 9分

又,,從而

故， 12分

故直線與平面所成的角等于 13分

方法二：依題意，且平面，平面⊥平面，故平面

從而，又，故分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系． 7分

，同理可得故 8分

取平面的法向量為， 9分

設(shè)直線與平面所成角為

則， 11分

又

從而直線與平面所成角為 13分

考點(diǎn)：1、直線與平面平行的判斷；2、直線與平面所成的角；3、空間向量在立體幾何的應(yīng)用．