Question

【題目】在無窮數(shù)列中，，記前項(xiàng)中的最大項(xiàng)為，最小項(xiàng)為，令.

（1）若的前項(xiàng)和滿足.

①求；

②是否存在正整數(shù)滿足？若存在，請求出這樣的，若不存在，請說明理由.

（2）若數(shù)列是等比數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）①；②存在，，或；（2）證明見解析

【解析】

（1）①根據(jù)，先求出，再由，求出，即可得出；

②先假設(shè)存在滿足條件的正整數(shù)滿足題意，得出，設(shè)，研究其增減性，設(shè)，得，設(shè)，研究其增減性，進(jìn)而可得出結(jié)果；

（2）因?yàn)?/span>，且、分別為前項(xiàng)中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，所以，，設(shè)數(shù)列的公比為，顯然，分別討論，，，三種情況，即可得出結(jié)果.

解：①在中，令，得，解得，∴，

當(dāng)時，，

綜上.

顯然為單調(diào)遞增數(shù)列，所以，，所以.

②假設(shè)存在滿足條件的正整數(shù)，則，所以，

設(shè)，則，所以，

由，得，∴，則，

當(dāng)時，顯然不成立，

當(dāng)時，，

設(shè)，則，，得，

設(shè)，則恒成立，

所以數(shù)列單調(diào)遞減，而，，，則時，恒成立，

故方程的解有且僅有，或，，

故滿足條件的存在，，或.

（2）證明：因?yàn)?/span>，且、分別為前項(xiàng)中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，

所以，，設(shè)數(shù)列的公比為，顯然，

①當(dāng)時，，得，

若，則，由與的含義可知與不可能同時成立，

故，則，則，，∴，∴，

所以數(shù)列是等比數(shù)列.

②當(dāng)時，，得，

∴，∴恒成立，而，所以，∴恒成立，

∴，，代入得，即，

所以數(shù)列是等比數(shù)列.

③當(dāng)時，，得，

∴，∴恒成立，而，所以，∴恒成立，

∴，，代入得，即，

所以數(shù)列是等比數(shù)列.

綜上①②③，數(shù)列是等比數(shù)列.