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【題目】已知函數，曲線在點處的切線方程為.

（1）求函數的解析式，并證明：.

（2）已知，且函數與函數的圖象交于，兩點，且線段的中點為，證明：.

【答案】（1），證明見解析； （2）證明見解析.

【解析】

（1）利用切線方程可求得的解析式，令，利用導數可求得，從而證得結論；（2）通過分析法可知要證成立只需證；令，即證：；令，利用導數研究單調性，可知，得到成立；令，利用導數研究單調性，可知，得到成立，可知需證的不等式成立，則原不等式成立.

（1）由題意得：，即

又，即，則，解得：

則.

令，

令，解得：

則函數在上單調遞減，在上單調遞增

，則：

（2）要證成立，只需證：

即證，即：

只需證：

設，即證：

要證，只需證：

令，則

在上為增函數

，即成立；

要證，只需證明：

令，則

在上為減函數 ，即成立

，成立

成立

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，橢圓 的左右焦點分別為的、，離心率為；過拋物線焦點的直線交拋物線于、兩點，當時， 點在軸上的射影為。連結并延長分別交于、兩點，連接； 與的面積分別記為， ，設.

（Ⅰ）求橢圓和拋物線的方程；

（Ⅱ）求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設函數 （k為常數）

（1）當時，求函數的最值；

（2）若，討論函數的單調性

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知兩條拋物線C：y2＝2x，E：y2＝2px（p＞0且p≠1），M為C上一點（異于原點O），直線OM與E的另一個交點為N．若過M的直線l與E相交于A，B兩點，且△ABN的面積是△ABO面積的3倍，則p＝_____

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，其中為常數.

（1）討論函數的單調性；

（2）當（為自然對數的底數），時，若方程有兩個不等實數根，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在無窮數列中，，記前項中的最大項為，最小項為，令.

（1）若的前項和滿足.

①求；

②是否存在正整數滿足？若存在，請求出這樣的，若不存在，請說明理由.

（2）若數列是等比數列，求證：數列是等比數列.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數

（1）討論的單調性．

（2），都有恒成立，求實數的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f（x）＝（k＋）lnx＋，k∈[4，＋∞），曲線y＝f（x）上總存在兩點M（x1，y1），N（x2，y2），使曲線y＝f（x）在M，N兩點處的切線互相平行，則x1＋x2的取值范圍為

A. （，＋∞） B. （，＋∞） C. [，＋∞） D. [，＋∞）

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】給定橢圓，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“準圓”.若橢圓的一個焦點為，其短軸上的一個端點到的距離為.

（1）求橢圓的方程和其“準圓”方程；

（2）點是橢圓的“準圓”上的動點，過點作橢圓的切線交“準圓”于點.

①當點為“準圓”與軸正半軸的交點時，求直線的方程并證明；

②求證：線段的長為定值.

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