【題目】如圖，已知在四棱錐中，底面為等腰梯形，，，，，點在底面的投影恰好為與的交點，.

（1）證明：；

（2）若為的中點，求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）在平面圖形中，過點作的垂線交于點，得，在中，利用余弦定理求得，根據(jù)相似可得，從而證出，再由平面，可得，利用線面垂直的判定定理可證出平面，進而證出.

（2）以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量與平面的一個法向量，由，利用空間向量的數(shù)量積即可求解.

（1）證明：如圖，在平面圖形中，過點作的垂線交于點，

易得，故，

在中，由余弦定理知，

，

故.

由相似可知，，

又，∴，

故，∴.

又點在底面的投影為，∴平面，∴，

又，∴平面，∴.

（2）解：如圖，以為原點，，，分別為，，軸

建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）知，

故，，，

，，，

故，，.

設(shè)平面的一個法向量為，

則，即，

令，解得，故.

同理，可求得平面的一個法向量為，

設(shè)二面角為，

則.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在貫徹中共中央、國務(wù)院關(guān)于精準(zhǔn)扶貧政策的過程中，某單位在某市定點幫扶甲、乙兩村各50戶貧困戶為了做到精準(zhǔn)幫扶，工作組對這100戶村民的年收入情況、勞動能力情況、子女受教育情況、危舊房情況、患病情況等進行調(diào)查，并把調(diào)查結(jié)果轉(zhuǎn)化為各戶的貧困指標(biāo)x，將指標(biāo)x按照分成五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

規(guī)定若，則認(rèn)定該戶為“絕對貧困戶”，否則認(rèn)定該戶為“相對貧困戶”，且當(dāng)時，認(rèn)定該戶為“低收入戶”；當(dāng)時，認(rèn)定該戶為“亟待幫助戶”，已知此次調(diào)查中甲村的“絕對貧困戶”占甲村貧困戶的24%.

（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為絕對貧困戶數(shù)與村落有關(guān)；

甲村

乙村

總計

絕對貧困戶

相對貧困戶

總計

（2）若兩村“低收入戶”中乙村“低收入戶”占比為，兩村“亟待幫助戶”中乙村“亟待幫助戶”占比為，且乙村貧困指標(biāo)在上的戶數(shù)成等差數(shù)列，試估計乙村貧困指標(biāo)x的平均值.

附：，其中.

0.15

0.10

0.05

0.025

2.072

2.706

3.841

5.024

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.

根據(jù)該折線圖，判斷下列結(jié)論：

（1）月接待游客量逐月增加；

（2）年接待游客量逐年增加；

（3）各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月；

（4）各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn).

其中正確結(jié)論的個數(shù)為（ ）

A.1B.2C.3D.4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點，直線與曲線交于兩點，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù) （k為常數(shù)）

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的最值；

（2）若，討論函數(shù)的單調(diào)性

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的長軸長為4，且經(jīng)過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線的斜率為，且與橢圓相交于，兩點（異于點），過作的角平分線交橢圓于另一點.證明：直線與坐標(biāo)軸平行.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知兩條拋物線C：y2＝2x，E：y2＝2px（p＞0且p≠1），M為C上一點（異于原點O），直線OM與E的另一個交點為N．若過M的直線l與E相交于A，B兩點，且△ABN的面積是△ABO面積的3倍，則p＝_____

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在無窮數(shù)列中，，記前項中的最大項為，最小項為，令.

（1）若的前項和滿足.

①求；

②是否存在正整數(shù)滿足？若存在，請求出這樣的，若不存在，請說明理由.

（2）若數(shù)列是等比數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）, 其頻率分布直方圖如下：

（1）記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”，估計A的概率；

（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：

箱產(chǎn)量＜50 kg

箱產(chǎn)量≥50 kg

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

（3）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進行比較.

附：

P（）

0.050 0.010 0.001

k

3.841 6.635 10.828

.

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