【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).
(1)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+ , 求gn(x)的表達式;
(2)若f(x)≥ag(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)設(shè)n∈N+ , 比較g(1)+g(2)+…+g(n)與n﹣f(n)的大小,并加以證明.
【答案】
(1)解:由題設(shè)得,
由已知 ,
,
…
可得
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.①當n=1時, ,結(jié)論成立.
②假設(shè)n=k時結(jié)論成立,即 ,
那么n=k+1時, = 即結(jié)論成立.
由①②可知,結(jié)論對n∈N+成立.
(2)解:已知f(x)≥ag(x)恒成立,即ln(1+x)≥ 恒成立.
設(shè)φ(x)=ln(1+x)﹣ (x≥0),則φ′(x)= ,
當a≤1時,φ′(x)≥0(僅當x=0,a=1時取等號成立),
∴φ(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,
又φ(0)=0,
∴φ(x)≥0在[0,+∞)上恒成立.
∴當a≤1時,ln(1+x)≥ 恒成立,(僅當x=0時等號成立)
當a>1時,對x∈(0,a﹣1]有φ′(x)<0,∴φ(x)在∈(0,a﹣1]上單調(diào)遞減,
∴φ(a﹣1)<φ(0)=0
即當a>1時存在x>0使φ(x)<0,
故知ln(1+x)≥ 不恒成立,
綜上可知,實數(shù)a的取值范圍是(﹣∞,1].
(3)解:由題設(shè)知,g(1)+g(2)+…+g(n)= ,
n﹣f(n)=n﹣ln(n+1),
比較結(jié)果為g(1)+g(2)+…+g(n)>n﹣ln(n+1)
證明如下:上述不等式等價于 ,
在(2)中取a=1,可得 ,
令 則
故有 ,
ln3﹣ln2 ,…
,
上述各式相加可得 結(jié)論得證
【解析】(1)由已知 , , …可得 用數(shù)學(xué)歸納法加以證明;(2)由已知得到ln(1+x)≥ 恒成立構(gòu)造函數(shù)φ(x)=ln(1+x)﹣ (x≥0),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可;(3)在(2)中取a=1,可得 ,令 則 ,n依次取1,2,3…,然后各式相加即得到不等式.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識,掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減,以及對函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解,了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,半圓O的直徑為2,A為直徑延長線上一點,OA=2,B為半圓上任意一點,以線段AB為腰作等腰直角△ABC(C、O兩點在直線AB的兩側(cè)),當∠AOB變化時,OC≤m恒成立,則m的最小值為______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且a2=2,a4= .
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=log2an , 求數(shù)列{bn}的前n項和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知平行四邊形ABCD的三個頂點的坐標為
(1)求平行四邊形ABCD的頂點D的坐標;
(2)求四邊形ABCD的面積
(3)求的平分線所在直線方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一塊耕地上種植一種作物,每季種植成本為1000元,此作物的市場價格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機性,且互不影響,其具體情況如下表:
作物產(chǎn)量(kg) | 300 | 500 |
概率 | 0.5 | 0.5 |
作物市場價格(元/kg) | 6 | 10 |
概率 | 0.4 | 0.6 |
(1)設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤,求X的分布列;
(2)若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物,求這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知實數(shù)x,y滿足ax<ay(0<a<1),則下列關(guān)系式恒成立的是( )
A.>
B.ln(x2+1)>ln(y2+1)
C.sinx>siny
D.x3>y3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某車間為了規(guī)定工時定額,需要確定加工零件所花費的時間,為此作了四次試驗,得到的數(shù)據(jù)如下:
零件的個數(shù)x(個) | 2 | 3 | 4 | 5 |
加工的時間y(小時) | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)在給定的坐標系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖;
(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程
(3)試預(yù)測加工10個零件需要多少小時?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在育民中學(xué)舉行的電腦知識競賽中,將九年級兩個班參賽的學(xué)生成績(得分均為整數(shù))進行整理后分成五組,繪制如圖所示的頻率分布直方圖.已知圖中從左到右的第一、第三、第四、第五小組的頻率分別是0.30,0.15,0.10,0.05,第二小組的頻數(shù)是40.
(1)求第二小組的頻率,并補全這個頻率分布直方圖;
(2)求這兩個班參賽的學(xué)生人數(shù)是多少?
(3)求這兩個班參賽學(xué)生的成績的中位數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當時,函數(shù)恰有兩個不同的零點,求實數(shù)的值;
(2)當時,
① 若對于任意,恒有,求的取值范圍;
② 若,求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.
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