Question

【題目】如圖，半圓O的直徑為2，A為直徑延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，OA=2，B為半圓上任意一點(diǎn)，以線段AB為腰作等腰直角△ABC（C、O兩點(diǎn)在直線AB的兩側(cè)），當(dāng)∠AOB變化時(shí)，OC≤m恒成立，則m的最小值為______．

Answer 1

【答案】2+1

【解析】

根據(jù)題意，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸建立坐標(biāo)系，設(shè)∠AOB=θ，分析A、B的坐標(biāo)，可得向量的坐標(biāo)，又由△ABC為等腰直角三角形，則AC⊥AB且|AC|=|AB|，分析可得向量的坐標(biāo)，進(jìn)而由向量坐標(biāo)的加法可得向量的坐標(biāo)，進(jìn)而可得向量的模，分析其最大值，若OC≤m恒成立，分析可得答案．

解：根據(jù)題意，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸建立坐標(biāo)系，如圖：

則A（2，0），設(shè)∠AOB=θ，（0≤θ≤π），則B的坐標(biāo)為（cosθ，sinθ），

則=（cosθ-2，sinθ），

△ABC為等腰直角三角形，則AC⊥AB且|AC|=|AB|，

又由C、O兩點(diǎn)在直線AB的兩側(cè)，則=（sinθ，2-cosθ），

則=（2+sinθ，2-cosθ），

則||2=（2+sinθ）2+（2-cosθ）2=9+4（sinθ-cosθ）=9+4sin（θ-），

所以當(dāng)θ=時(shí)，||2取得最大值9+4，

則OC的最大值為2+1，

若OC≤m恒成立，則m≥2+1，即m的最小值為2+1；

故答案為：2+1．