Question

19．已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)和公差均為$\frac{1}{2}$，則數(shù)列$\{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$的前100項(xiàng)和S₁₀₀=$\frac{400}{101}$．

Answer 1

分析 推導(dǎo)出$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{4}{n（n+1）}$=4（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列$\{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$的前100項(xiàng)和．

解答 解：∵等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)和公差均為$\frac{1}{2}$，
∴a_n=$\frac{1}{2}+（n-1）×\frac{1}{2}$=$\frac{n}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{4}{n（n+1）}$=4（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$的前100項(xiàng)和：
S₁₀₀=4（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{100}-\frac{1}{101}$）=4（1-$\frac{1}{101}$）=$\frac{400}{101}$．
故答案為：$\frac{400}{101}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的前100項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．