Question

7．已知曲線$y=\frac{1}{3}{x^3}$，求曲線過點P（2，$\frac{8}{3}$）的切線方程．

Answer 1

分析 設(shè)出曲線過點P切線方程的切點坐標(biāo)，把切點的橫坐標(biāo)代入到導(dǎo)函數(shù)中即可表示出切線的斜率，根據(jù)切點坐標(biāo)和表示出的斜率，寫出切線的方程，把P的坐標(biāo)代入切線方程即可得到關(guān)于切點橫坐標(biāo)的方程，求出方程的解即可得到切點橫坐標(biāo)的值，分別代入所設(shè)的切線方程即可．

解答 解：設(shè)過點P（2，$\frac{8}{3}$）的直線與曲線相切，切點坐標(biāo)為$（{x_0}，\frac{1}{3}x_0^3）$，
所以切線的斜率為${f^'}（{x_0}）=x_0^2$，所以切線方程為$y-\frac{1}{3}x_0^3=x_0^2（x-{x_0}）$，
因為切線過點P（2，$\frac{8}{3}$），所以$\frac{8}{3}-\frac{1}{3}x_0^3=x_0^2（2-{x_0}）$，
解得x₀=2或x₀=-1
當(dāng)x₀=2時，切線方程為12x-3y-16=0
當(dāng)x₀=-1時，切線方程為3y-3x-2=0
所以，所求切線方程為12x-3y-16=0或3y-3x-2=0．

點評 本題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點的切線方程，是一道綜合題．學(xué)生在解決此類問題一定要分清“在某點處的切線”，還是“過某點的切線”；同時解決“過某點的切線”問題，一般是設(shè)出切點坐標(biāo)解決．