【題目】如圖,四棱錐的底面為直角梯形,,,的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證:平面

(Ⅱ)若平面平面,異面直線所成角為60°,且是鈍角三角形,求二面角的正弦值

【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)取的中點(diǎn),連接,證明四邊形為平行四邊形,得到即可

(Ⅱ)由條件得出,然后證明平面,然后以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面和平面的法向量即可.

(Ⅰ)證明:取的中點(diǎn),連接

因?yàn)?/span>的中點(diǎn),則,且,

,且,所以,,

所以四邊形為平行四邊形,

所以平面,平面,

所以平面

(Ⅱ)由題意可知,所以或其補(bǔ)角為異面直線所成角,

,為鈍角三角形,所以,

又平面平面,平面平面,

所以平面,

為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,

,,,,

向量,,

設(shè)平面的法向量為

,令,

得平面的一個法向量為

同理可得平面的一個法向量為

設(shè)二面角的平面角為

故二面角的正弦值為

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