Question

若點(diǎn)O是線段BC外一點(diǎn)，點(diǎn)P是平面上任意一點(diǎn)，且

OP

=λ

OB

+μ

OC

（λ，μ∈R），則下列說法正確的有

 

①若λ+μ=1且λ＞0，則點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上；
②若λ+μ=1且λ＜0，則點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上；
③若λ+μ＞1，則點(diǎn)P在△OBC外；
④若λ+μ＜1，則點(diǎn)P在△OBC內(nèi)．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：根據(jù)向量的減法運(yùn)算，向量數(shù)乘的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，以及相反向量的概念即可判斷出每一項(xiàng)的正誤．

解答： 解：因?yàn)?span id="9a1kmio" class="MathJye">

OP

=λ

OB

+μ

OC

(λ，μ∈R)
①若λ+μ=1且λ＞0，

OP

=λ

OB

+(1-λ)

OC

=

OC

+λ(

OB

-

OC

)故

OP

-

OC

=λ(

OB

-

OC

)即

CP

=λ

CB

又λ＞0則點(diǎn)P在線段BC或其反向延長(zhǎng)線上，錯(cuò)誤；
②若λ+μ=1且λ＜0，同上可得

CP

=λ

CB

而λ＜0則點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上，正確；
③若λ+μ＞1，

OP

=λ

OB

+(1-λ)

OC

+(λ+μ-1)

OC

，同上可得

CP

=λ

CB

+(λ+μ-1)

OC

，當(dāng)λ+μ＞1時(shí)，λ+μ-1＞0根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可以看出則點(diǎn)P在△OBC外，正確；
④若λ+μ＜1，不防令λ=0，μ=-1則

OP

=-

OC

，很顯然此時(shí)點(diǎn)P在線段CO的延長(zhǎng)線上，不在△OBC內(nèi)，錯(cuò)誤．
所以說法正確的有：②③．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：考查向量的減法運(yùn)算，向量數(shù)乘的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，以及相反向量的概念．