Question

在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度．已知曲線C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），過(guò)點(diǎn)P（-2，-4）的直線l的參數(shù)方程為

x=-2+ 2 t y=-4+ 2 t.

（t為參數(shù)）．直線l與曲線C分別交于M、N．若|PM|、|MN|、|PN|成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：

分析：由曲線C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），化為ρ²sin²θ=2aρcosθ，可得直角坐標(biāo)方程，將直線l的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式

x=-2+ 2 2 t′ y=-4+ 2 2 t′.

(t′為參數(shù))，代入曲線C的直角坐標(biāo)方程得：

1

2

t′2-(4

2

+

2

a)t′+16+4a=0，由于直線與曲線交于兩點(diǎn)，可得△＞0．設(shè)交點(diǎn)M，N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1′，t2′．可得根與系數(shù)的關(guān)系，若|PM|、|MN|、|PN|成等比數(shù)列，可得|t1′-t2′|2=|t1′t2′|，解出即可．

解答： 解：由曲線C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），化為ρ²sin²θ=2aρcosθ，可得直角坐標(biāo)方程為y²=2ax  （a＞0），
將直線l的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式

x=-2+ 2 2 t′ y=-4+ 2 2 t′.

(t′為參數(shù))，
代入曲線C的直角坐標(biāo)方程得：

1

2

t′2-(4

2

+

2

a)t′+16+4a=0，
∵直線與曲線交于兩點(diǎn)，
∴△＞0，即a＞0或a＜-4．
設(shè)交點(diǎn)M，N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1′，t2′．
則t1′+t2′=2(4

2

+

2

a)，t1′t2′=2(16+4a)．
若|PM|、|MN|、|PN|成等比數(shù)列，
則|t1′-t2′|2=|t1′t2′|，
解得a=1或a=-4（舍）
所以滿足條件的a=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、參數(shù)的應(yīng)用、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．