如圖,直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的高為3,底面是邊長為4且∠DAB=60°的菱形,AC∩BD=0,A1C1∩B1D1=O1,E是O1A的中點.
(1)求證:平面O1AC平面O1BD
(2)求二面角O1-BC-D的大。
(3)求點E到平面O1BC的距離.
(1)只需證BD⊥面O1AC即可;(2) ;(3) 。
解析試題分析:(1)證明:∵ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱,∴AA1⊥面AC,又BD?面AC,所以AA1⊥BD. 又∵ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∵AA1∩AC=A
所以BD⊥面AA1C。
即BD⊥面O1AC,又BD?面O1BD,
所以平面O1AC⊥平面O1BD.
(2)解:過O作OH⊥BC于H,連接O1H,則∠O1HO為二面角O1-BC-D的平面角.
在Rt△BHO中,OB=2,∠OBH=60°,∴OH=
又O1O∥A1A,∴O1O⊥OH.∴tan∠O1OH= .故二面角O1-BC-D的大小為.
(3)因為E為AO1的中點,所以O(shè)E//O1C,所以E到面O1BC的距離等于O到面O1BC的距離,根據(jù)等積法即可求出點E到平面O1BC的距離為。
考點:面面垂直的判定定理;二面角;點到面的距離。
點評:本題以直四棱柱為載體,考查面面垂直,考查面面角,解題的關(guān)鍵是利用面面垂直的判定,正確作出面面角.
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(本小題滿分10分)如圖,四邊形ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO底面ABCD,E是PC的中點.
求證:(1) PA∥平面BDE .
(2)平面PAC平面BDE .
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(本小題12分) 如圖四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為正方形,側(cè)棱與底邊長均為a,
且∠A1AD=∠A1AB=60°。
①求證四棱錐 A1-ABCD為正四棱錐;
②求側(cè)棱AA1到截面B1BDD1的距離;
③求側(cè)面A1ABB1與截面B1BDD1的銳二面角大小。
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(本小題滿分12分)
如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形,BCD=60,E是CD的中點,PA底面ABCD,PA=2.
(1)證明:平面PBE平面PAB;
(2)求平面PAD和平面PBE所成二面角的正弦值。
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(本題滿分10分) 如圖,P—ABCD是正四棱錐,是正方體,其中
(1)求證:;
(2)求平面PAD與平面所成的銳二面角的余弦值;
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(本題滿分12分)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E為CC1的中點.
(1)求證:AC1∥平面BDE;(2)求異面直線A1E與BD所成角。
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