(本小題12分) 如圖四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為正方形,側(cè)棱與底邊長均為a,
且∠A1AD=∠A1AB=60°。

①求證四棱錐 A1-ABCD為正四棱錐;
②求側(cè)棱AA1到截面B1BDD1的距離;
③求側(cè)面A1ABB1與截面B1BDD1的銳二面角大小。

(1)因?yàn)镽t△ABD的外心是斜邊BD的中點(diǎn),所以O(shè)是底面正方形ABCD的中心,因此證明。
(2)a
(3)arctan。

解析試題分析:(1)由AA1=AD=AB,及∠A1AD=∠A1AB=60°△A1AD、△AA1B都是正三角形,從而AA1=A1D=A1B,設(shè)A1在底面ABCD的射影為O,則由斜線長相等推出射影長也相等,所以O(shè)是Rt△ABD的外心,因?yàn)镽t△ABD的外心是斜邊BD的中點(diǎn),所以O(shè)是底面正方形ABCD的中心。所以四棱錐A1—ABCD是正四棱錐。

(2)由DB⊥平面AA1O截面BB1D1D⊥平面AA1O點(diǎn)O與側(cè)棱AA1的距離d等于AA1和截面BB1D1D之間的距離。取AA1的中點(diǎn)M,則OM∥A1C,且OM⊥AA1,OM=A1C=a,∴所求距離為a。
(3)注意到所求二面角的棱是B1B,由M是AA1的中點(diǎn)MB⊥AA1,B1B∥AA1MB⊥B1B,又DB⊥AA1,AA1//B1BDB⊥B1B,

∴∠MBD是所求二面角的平面角。不妨設(shè)AB=a=2,則BD=2,MB=MD=,
∴tanMBD=。
∴側(cè)面A1ABB1與截面B1BDD1的夾角為arctan。
考點(diǎn):本試題考查了距離和角的求解運(yùn)用。
點(diǎn)評(píng):對于立體幾何中的角和距離的求解是高考的一個(gè)方向,那么解決這類問題一般可以從兩個(gè)角度來做,一個(gè)就是利用幾何性質(zhì),結(jié)合定理和推論來了得到,另一個(gè)就是建立直角坐標(biāo)系,通過法向量和直線的方向向量來表示得到,屬于中檔題。

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相關(guān)習(xí)題

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(本題滿分為12分)
在四棱錐中,底面,,,,,的中點(diǎn).

(I)證明:;
(II)證明:平面
(III)求二面角的余弦值.

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(本小題滿分13分)如圖所示,四棱錐中,底面是邊長為2的菱形,是棱上的動(dòng)點(diǎn).

(Ⅰ)若的中點(diǎn),求證://平面;
(Ⅱ)若,求證:;
(III)在(Ⅱ)的條件下,若,求四棱錐的體積.

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(本小題滿分12分)
已知直三棱柱中,,若中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:∥平面
(Ⅱ)求異面直線所成的角.

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如圖,在四棱錐中,底面ABCD是一直角梯形,,,,且PA=AD=DC=AB=1.

(1)證明:平面平面
(2)設(shè)AB,PA,BC的中點(diǎn)依次為M、N、T,求證:PB∥平面MNT
(3)求異面直線所成角的余弦值

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(本小題滿分14分)
如圖,四棱錐的底面為菱形,平面,, E、F分別為的中點(diǎn),

(Ⅰ)求證:平面平面
(Ⅱ)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

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如圖,直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的高為3,底面是邊長為4且∠DAB=60°的菱形,AC∩BD=0,A1C1∩B1D1=O1,E是O1A的中點(diǎn).

(1)求證:平面O1AC平面O1BD
(2)求二面角O1-BC-D的大;
(3)求點(diǎn)E到平面O1BC的距離.

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(本小題滿分12分)在幾何體ABCDE中,∠BAC=,DC⊥平面ABC,EB⊥平面ABC,F(xiàn)是BC的中點(diǎn),AB=AC=BE=2,CD=1

(Ⅰ)求證:DC∥平面ABE;
(Ⅱ)求證:AF⊥平面BCDE;
(Ⅲ)求證:平面AFD⊥平面AFE.

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