Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）若存在滿(mǎn)足，證明：成立.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增沒(méi)有極值；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極小值為；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由時(shí)，求得導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，求得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求解極值；

（2）由，得到，由于的極小值點(diǎn)為，可設(shè)，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出，即可求解.

（1）由時(shí)，函數(shù)，則，

令，解得；令，解得；

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，極小值為，無(wú)極大值.

（2）由，可得，從而得，

由，則，

由（1）知，當(dāng)時(shí)，從而得在上單調(diào)遞增沒(méi)有極值，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，，可得；

可得得，得，

所以函數(shù)在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，

可設(shè)

設(shè)

，僅當(dāng)時(shí)取得“”

所以在為單調(diào)遞增函數(shù)且

當(dāng)，時(shí)有，即

又由，所以

又由(1)知在上單調(diào)遞減，且，

所以從而得證成立.