【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形為梯形，且，，平面平面.

（1）證明：平面平面；

（2）若，，求二面角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，平面，又，可得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證出；

（2）作于，過(guò)作交于，即可知平面，建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸的空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的一個(gè)法向量，根據(jù)向量法即可求出．

（1）證明：∵平面平面，平面平面，，

在平面內(nèi)，∴平面，又∵，

∴平面，而在平面內(nèi)，

∴平面平面；

（2）作于，則平面，過(guò)作交于，

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

設(shè)，則，，，，

故，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，

則可取，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，

則可取，

∴，∴.

故二面角的平面角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某周末，鄭州方特夢(mèng)幻王國(guó)匯聚了八方來(lái)客.面對(duì)該園區(qū)內(nèi)相鄰的兩個(gè)主題公園“千古蝶戀”和“西游傳說(shuō)”，成年人和未成年人選擇游玩的意向會(huì)有所不同.某統(tǒng)計(jì)機(jī)構(gòu)對(duì)園區(qū)內(nèi)的100位游客（這些游客只在兩個(gè)主題公園中二選一）進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查.調(diào)查結(jié)果顯示，在被調(diào)查的50位成年人中，只有10人選擇“西游傳說(shuō)”，而選擇“西游傳說(shuō)”的未成年人有20人.

（1）根據(jù)題意，請(qǐng)將下面的列聯(lián)表填寫(xiě)完整；

選擇“西游傳說(shuō)”

選擇“千古蝶戀”

總計(jì)

成年人

未成年人

總計(jì)

（2）根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，判斷是否有的把握認(rèn)為選擇哪個(gè)主題公園與年齡有關(guān).

附參考公式與表：（）.

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了解甲、乙兩個(gè)快遞公司的工作狀況，假設(shè)同一個(gè)公司快遞員的工作狀況基本相同，現(xiàn)從甲、乙兩公司各隨機(jī)抽取一名快遞員，并從兩人某月(30天)的快遞件數(shù)記錄結(jié)果中隨機(jī)抽取10天的數(shù)據(jù)，整理如下：

甲公司員工：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350

乙公司員工：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420

每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務(wù)費(fèi)情況如下：甲公司規(guī)定每件0.65元，乙公司規(guī)定每天350件以內(nèi)(含350件)的部分每件0.6元，超出350件的部分每件0.9元.

（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)寫(xiě)出甲公司員工在這10天投遞的快件個(gè)數(shù)的平均數(shù)和眾數(shù)；

（2）為了解乙公司員工每天所得勞務(wù)費(fèi)的情況，從這10天中隨機(jī)抽取1天，他所得的勞務(wù)費(fèi)記為 (單位：元)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）根據(jù)題中數(shù)據(jù)估算兩公司被抽取員工在該月所得的勞務(wù)費(fèi).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，與交于，兩點(diǎn)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）若存在滿足，證明：成立.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)，直線與曲線交于兩點(diǎn)，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某校共有學(xué)生2000人，其中男生900人，女生1100人，為了調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育鍛煉時(shí)間，采用分層抽樣的方法收集該校100名學(xué)生每周平均體育鍛煉時(shí)間（單位：小時(shí)）.

（1）應(yīng)抽查男生與女生各多少人？

（2）根據(jù)收集100人的樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育鍛煉時(shí)間的頻率分布表：

時(shí)間（小時(shí)）

[0,1]

(1,2]

(2,3]

(3,4]

(4,5]

(5,6]

頻率

0.05

0.20

0.30

0.25

0.15

0.05

若在樣本數(shù)據(jù)中有38名男學(xué)生平均每周課外體育鍛煉時(shí)間超過(guò)2小時(shí)，請(qǐng)完成每周平均體育鍛煉時(shí)間與性別的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育鍛煉時(shí)間與性別有關(guān)”？

男生

女生

總計(jì)

每周平均體育鍛煉時(shí)間不超過(guò)2小時(shí)

每周平均體育鍛煉時(shí)間超過(guò)2小時(shí)

總計(jì)

附：K2.

P（K2≥k0）

0.100

0.050

0.010

0.005

2.706

3.841

6.635

7.879

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2018年3月份，上海出臺(tái)了《關(guān)于建立完善本市生活垃圾全程分類(lèi)體系的實(shí)施方案》，4月份又出臺(tái)了《上海市生活垃圾全程分類(lèi)體系建設(shè)行動(dòng)計(jì)劃（2018-2020年）》，提出到2020年底，基本實(shí)現(xiàn)單位生活垃圾強(qiáng)制分類(lèi)全覆蓋，居民區(qū)普遍推行生活垃圾分類(lèi)制度．為加強(qiáng)社區(qū)居民的垃圾分類(lèi)意識(shí)，推動(dòng)社區(qū)垃圾分類(lèi)正確投放，某社區(qū)在健身廣場(chǎng)舉辦了“垃圾分類(lèi)，從我做起”生活垃圾分類(lèi)大型宣傳活動(dòng)，號(hào)召社區(qū)居民用實(shí)際行動(dòng)為建設(shè)綠色家園貢獻(xiàn)一份力量，為此需要征集一部分垃圾分類(lèi)志愿者．

（1）為調(diào)查社區(qū)居民喜歡擔(dān)任垃圾分類(lèi)志愿者是否與性別有關(guān)，現(xiàn)隨機(jī)選取了一部分社區(qū)居民進(jìn)行調(diào)查，其中被調(diào)查的男性居民和女性居民人數(shù)相同，男性居民中不喜歡擔(dān)任垃圾分類(lèi)志愿者占男性居民的，女性居民中不喜歡擔(dān)任垃圾分類(lèi)志愿者占女性居民的，若研究得到在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.010的前提下，認(rèn)為居民喜歡擔(dān)任垃圾分類(lèi)志愿者與性別有關(guān)，則被調(diào)查的女性居民至少多少人？

附，，

0.100

0.050

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

（2）某垃圾站的日垃圾分揀量（千克）與垃圾分類(lèi)志愿者人數(shù)（人）滿足回歸直線方程，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

志愿者人數(shù)（人）

2

3

4

5

6

日垃圾分揀量（千克）

25

30

40

45

已知，，，根據(jù)所給數(shù)據(jù)求和回歸直線方程，附：，．

（3）用（2）中所求的線性回歸方程得到與對(duì)應(yīng)的日垃圾分揀量的估計(jì)值．當(dāng)分揀數(shù)據(jù)與估計(jì)值滿足時(shí)，則將分揀數(shù)據(jù)稱(chēng)為一個(gè)“正常數(shù)據(jù)”．現(xiàn)從5個(gè)分揀數(shù)據(jù)中任取3個(gè)，記表示取得“正常數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】“干支紀(jì)年法”是中國(guó)歷法自古以來(lái)就使用的紀(jì)年方法，甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸為十天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥為十二地支.“干支紀(jì)年法”是以一個(gè)天干和一個(gè)地支按上述順序相配排列起來(lái)，天干在前，地支在后，已知2017年是丁酉年，2018年是戊戌年，2019年是已亥年，依此類(lèi)推，則2080年是____________年.

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