Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）若曲線在處的切線的方程為，求實數(shù)的值；

（2）設(shè)，若對任意兩個不等的正數(shù)，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若在上存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3).

【解析】

試題分析：(1)借助題設(shè)條件運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；(2)借助題設(shè)先將問題進行等價轉(zhuǎn)化,再運用導(dǎo)數(shù)的知識求解；(3)構(gòu)造函數(shù)運用導(dǎo)數(shù)的知識求解和探求.

試題解析：

（1）由，得，

由題意，，所以． ………………………………3分

（2），

因為對任意兩個不等的正數(shù)，都有，

設(shè)，則，即恒成立，

問題等價于函數(shù)，即在為增函數(shù)．…6分

所以在上恒成立，即在上恒成立，

所以，即實數(shù)的取值范圍是．……………………………8分

（3）不等式等價于，

整理得．

設(shè)，由題意知，在上存在一點，使得．………10分

由．

因為，所以，即令，得．

① 當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，

只需，解得． ………………………………………………12分

② 當(dāng)，即時，在處取最小值．

令，即，可得．

考查式子，

因為，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立．……………14分

③ 當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，

只需，解得．

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是． …………………………16分