【題目】已知|a|=4,|b|=8,a與b的夾角是120°.
(1) 計算:① |a+b|,② |4a-2b|;
(2) 當k為何值時,(a+2b)⊥(ka-b)?
【答案】(1)① 4.② 16(2)k=-7
【解析】試題分析(1)①將式子先平方,轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積,根據(jù)向量數(shù)量積定義求值,最后開方,②將式子先平方,轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積,根據(jù)向量數(shù)量積定義求值,最后開方(2)由向量垂直得數(shù)量積為零,根據(jù)多項式法則展開向量,根據(jù)向量數(shù)量積定義求值,得關(guān)于k的關(guān)系式,解方程可得k值
試題解析:解:由已知得a·b=4×8×=-16.
(1) ① ∵ |a+b|2=a2+2a·b+b2=16+2×(-16)+64=48,∴ |a+b|=4.
② ∵ |4a-2b|2=16a2-16a·b+4b2=16×16-16×(-16)+4×64=768,
∴ |4a-2b|=16.
(2) ∵ (a+2b)⊥(ka-b),
∴ (a+2b)·(ka-b)=0,
ka2+(2k-1)a·b-2b2=0,
即16k-16(2k-1)-2×64=0,
∴ k=-7.
即k=-7時,a+2b與ka-b垂直.
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【題目】(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù),其中,曲線過點,且在點處的切線方程為.
(I)求的值;
(II)證明:當時,;
(III)若當時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)若曲線在處的切線的方程為,求實數(shù)的值;
(2)設(shè),若對任意兩個不等的正數(shù),都有恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若在上存在一點,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】如圖,在三棱錐中,平面平面,為等邊三角形,
且,,分別為,的中點.
(I)求證:平面;
(II)求證:平面平面;
(III)求三棱錐的體積.
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【題目】如圖,在三棱錐中,平面平面,為等邊三角形,
且,,分別為,的中點.
(I)求證:平面;
(II)求證:平面平面;
(III)求三棱錐的體積.
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【題目】已知圓經(jīng)過兩點,且圓心在直線上.
(Ⅰ)求圓的標準方程;
(Ⅱ)設(shè)直線經(jīng)過點,且與圓相交所得弦長為,求直線的方程.
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【題目】某投資公司計劃投資A,B兩種金融產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測,A產(chǎn)品的利潤y1與投資金額x的函數(shù)關(guān)系為y1=18-,B產(chǎn)品的利潤y2與投資金額x的函數(shù)關(guān)系為y2=(注:利潤與投資金額單位:萬元).
(1)該公司已有100萬元資金,并全部投入A,B兩種產(chǎn)品中,其中x萬元資金投入A產(chǎn)品,試把A,B兩種產(chǎn)品利潤總和表示為x的函數(shù),并寫出定義域;
(2)在(1)的條件下,試問:怎樣分配這100萬元資金,才能使公司獲得最大利潤?其最大利潤為多少萬元?
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【題目】已知函數(shù)為奇函數(shù),且相鄰兩對稱軸間的距離為.
(Ⅰ)當時,求的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)將函數(shù)的圖象沿軸方向向右平移個單位長度,再把橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變),
得到函數(shù)的圖象.當時,求函數(shù)的值域.
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