Question

設(shè)是由個實數(shù)組成的行列的數(shù)表，如果某一行（或某一列）各數(shù)之和為負(fù)數(shù)，則改變該行（或該列）中所有數(shù)的符號，稱為一次“操作”.

（1）數(shù)表如表1所示，若經(jīng)過兩“操”，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)實數(shù)，請寫出每次“操作”后所得的數(shù)表（寫出一種方法即可）；表1

1	2	3
	1	0	1

（2）數(shù)表如表2所示，若必須經(jīng)過兩次“操作”，才可使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)整數(shù)，求整數(shù)的所有可能值；表2

（3）對由個實數(shù)組成的行列的任意一個數(shù)表，能否經(jīng)過有限次“操作”以后，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)實數(shù)？請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見解析；（2），；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）改變行或列；（2）分兩種情況考慮：①首先操作第三列，②首先操作第一行；（3）在有限次之后終止. 終止之時，必是所有的行之和與所有的列之和均為非負(fù)實數(shù)，否則，只要再改變該行或該列的符號，就又會繼續(xù)上升，導(dǎo)致矛盾.

試題解析：（1）解：法1：

法2：

法3：

（2）每一列所有數(shù)之和分別為2，0，，0，每一行所有數(shù)之和分別為，1；

①如果首先操作第三列，則有

則第一行之和為，第二行之和為，

這兩個數(shù)中，必須有一個為負(fù)數(shù)，另外一個為非負(fù)數(shù)，

所以或，

當(dāng)時，則接下只能操作第一行，

此時每列之和分別為，

必有，解得，

當(dāng)時，則接下操作第二行，

此時第4列之和為負(fù)，不符合題意.    

②如果首先操作第一行，則有

則每一列之和分別為，，，，

當(dāng)時，每列各數(shù)之和已經(jīng)非負(fù)，不需要進(jìn)行第二次操作，舍掉，

當(dāng)時，，至少有一個為負(fù)數(shù)，

所以此時必須有，即，所以或，

經(jīng)檢驗，或符合要求，

綜上：.

（3）能經(jīng)過有限次操作以后，使得得到的數(shù)表所有的行之和與所有的列之和均為非負(fù)實數(shù). 證明如下：

記數(shù)表中第行第列的實數(shù)為（），各行的數(shù)字之和分別為，各列的數(shù)字之和分別為，，，數(shù)表中個實數(shù)之和為，則.記

.

按要求操作一次時，使該行的行之和（或該列的列之和）由負(fù)變正，都會引起（和）增大，從而也就使得增加，增加的幅度大于等于，但是每次操作都只是改變數(shù)表中某行（或某列）各數(shù)的符號，而不改變其絕對值，顯然，必然小于等于最初的數(shù)表中個實數(shù)的絕對值之和，可見其增加的趨勢必在有限次之后終止. 終止之時，必是所有的行之和與所有的列之和均為非負(fù)實數(shù)，否則，只要再改變該行或該列的符號，就又會繼續(xù)上升，導(dǎo)致矛盾，故結(jié)論成立. 

考點：新定義題型，數(shù)表問題.