Question

（2012年高考（北京理））設(shè)A是由個(gè)實(shí)數(shù)組成的行列的數(shù)表，滿足：每個(gè)數(shù)的絕對(duì)值不大于1，且所有數(shù)的和為零.記為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合.

對(duì)于，記為A的第行各數(shù)之和，為A的第列各數(shù)之和；

記為，，…，，，，…，中的最小值.

（1）對(duì)如下數(shù)表A,求的值；

1	1	-0.8
0.1	-0.3	-1

（2）設(shè)數(shù)表A=形如

1	1	1
		-1

求的最大值；

（3）給定正整數(shù)，對(duì)于所有的A∈S(2，),求的最大值。

Answer 1

【考點(diǎn)定位】此題作為壓軸題難度較大,考查學(xué)生分析問題解決問題的能力,考查學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力.

解:(1)由題意可知,,,,∴

(2)先用反證法證明:

若  則,∴

同理可知,∴   由題目所有數(shù)和為   即  ∴

與題目條件矛盾

∴.

易知當(dāng)時(shí),存在   ∴的最大值為1

(3)的最大值為.

首先構(gòu)造滿足的:

,

.

經(jīng)計(jì)算知,中每個(gè)元素的絕對(duì)值都小于1,所有元素之和為0,且

,

,

.

下面證明是最大值. 若不然,則存在一個(gè)數(shù)表,使得.

由的定義知的每一列兩個(gè)數(shù)之和的絕對(duì)值都不小于,而兩個(gè)絕對(duì)值不超過1的數(shù)的和,其絕對(duì)值不超過2,故的每一列兩個(gè)數(shù)之和的絕對(duì)值都在區(qū)間中. 由于,故的每一列兩個(gè)數(shù)符號(hào)均與列和的符號(hào)相同,且絕對(duì)值均不小于.

設(shè)中有列的列和為正,有列的列和為負(fù),由對(duì)稱性不妨設(shè),則. 另外,由對(duì)稱性不妨設(shè)的第一行行和為正,第二行行和為負(fù).

考慮的第一行,由前面結(jié)論知的第一行有不超過個(gè)正數(shù)和不少于個(gè)負(fù)數(shù),每個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值不超過1(即每個(gè)正數(shù)均不超過1),每個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值不小于(即每個(gè)負(fù)數(shù)均不超過). 因此

,

故的第一行行和的絕對(duì)值小于,與假設(shè)矛盾. 因此的最大值為.