【題目】已知橢圓C的方程為 + =1(a>b>0),雙曲線 =1的一條漸近線與x軸所成的夾角為30°,且雙曲線的焦距為4

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)F1 , F2分別為橢圓C的左,右焦點(diǎn),過(guò)F2作直線l(與x軸不重合)交于橢圓于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為E,記直線F1E的斜率為k,求k的取值范圍.

【答案】
(1)解:由一條漸近線與x軸所成的夾角為30°,則 =tan30°= ,即a2=3b2,

由2c=4 .c=2 ,則a2+b2=8,

解得:a2=8,b2=2,

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:


(2)解:由(1)可知:F2(2,0),直線AB的方程:x=ty+2,A(x1,y1),B(x2,y2),

,整理得:(t2+3)y2+4ty﹣2=0,

y1+y2=﹣ ,x1+x2= ,

則E( ,﹣ ),

由F1(﹣2,0),則直線F1E的斜率k= =﹣ ,

①當(dāng)t=0時(shí),k=0,

②當(dāng)t≠0時(shí),丨k丨= = ,

即丨k丨∈(0, ],

∴k的取值范圍[﹣ , ]


【解析】(1)由雙曲線的漸近線方程及斜率公式,即可求得a2=3b2,c=2 ,即a2+b2=8,即可求得a和b的值,求得橢圓方程;(2)設(shè)直線AB的方程,代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理求得斜率丨k丨用t表示,利用基本不等式即可求得k的取值范圍.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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