Question

【題目】已知圓C的圓心為原點(diǎn)，且與直線 相切.

（1）求圓C的方程；

（2）點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)引圓C的兩條切線， ，切點(diǎn)為， ，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

【答案】解：（1）依題意得：圓的半徑，所以圓的方程為。（4分）

（2）是圓的兩條切線， 。在以為直徑的圓上。

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為。

以為直徑的圓方程為（8分）

化簡(jiǎn)得： 為兩圓的公共弦，

直線的方程為

所以直線恒過(guò)定點(diǎn)。（12分）

【解析】試題分析：（1）由圓C與直線相切，得到圓心到直線的距離d=r，故利用點(diǎn)到直線的距離公式求出d的值，即為圓C的半徑，又圓心為原點(diǎn)，寫(xiě)出圓C的方程即可；

（2）由PA，PB為圓O的兩條切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OA與AP垂直，OB與PB垂直，根據(jù)90°圓周角所對(duì)的弦為直徑可得A，B在以OP為直徑的圓上，設(shè)出P的坐標(biāo)為（8，b），由P和O的坐標(biāo)，利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出OP中點(diǎn)坐標(biāo)，即為以OP為直徑的圓的圓心坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出OP的長(zhǎng)，即為半徑，寫(xiě)出以OP為直徑的圓方程，整理后，由AB為兩圓的公共弦，兩圓方程相減消去平方項(xiàng)，得到弦AB所在直線的方程，可得出此直線方程過(guò)（2，0），得證．

解：（1）依題意得：圓心（0，0）到直線的距離d=r，

∴d=，

所以圓C的方程為x2+y2=16①；

（2）連接OA，OB，

∵PA，PB是圓C的兩條切線，

∴OA⊥AP，OB⊥BP，

∴A，B在以OP為直徑的圓上，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，b），b∈R，

則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴以OP為直徑的圓方程為，

化簡(jiǎn)得：x2+y2﹣8x﹣by=0②，b∈R，

∵AB為兩圓的公共弦，

∴①﹣②得：直線AB的方程為8x+by=16，b∈R，即8（x﹣2）+by=0，

則直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（2，0）．