Question

【題目】如圖四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為2的菱形，G為AC與BD交點(diǎn)，平面BED⊥平面ABCD，BE=2，AE=2 ．
（Ⅰ）證明：BE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若∠ABC=120°，求直線EG與平面EDC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥DB

又因?yàn)槠矫鍮ED⊥平面ABCD，平面BED∩平面ABCD=DB，AC平面ABCD．

∴AC⊥平面BED，即AC⊥BE．

又BE=2，AE=2 ，AB=2，∴AE2=AB2+BE2，

∴BE⊥AB，且AB∩BD=B，∴BE⊥平面ABCD．

（Ⅱ）取AD中點(diǎn)H，連接BH．

∵四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為2的菱形，∠ABC=120°，∴BH⊥AD，且BH= ．

由（Ⅰ）得BE⊥平面ABCD，故以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）

則E（0，0，2），D（1， ，0），G（ ， ，0），C（2，0，0）

設(shè)面EDC的法向量為

， ，

由 ，可取

cos = =﹣

直線EG與平面EDC所成角的正弦值為

【解析】（Ⅰ）由AC⊥DB，平面BED⊥平面ABCD，得AC⊥平面BED，即AC⊥BE．

又 AE2=AB2+BE2，得BE⊥AB，即可得BE⊥平面ABCD．（Ⅱ）由（Ⅰ）得BE⊥平面ABCD，故以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

則E（0，0，2），D（1， ，0），G（ ， ，0），C（2，0，0），利用向量法求解．

【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．