Question

若實數(shù)x，y滿足x≥-1，y≥-1且2^x+2^y=4^x+4^y，則2^2x-y+2^2y-x的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：基本不等式,有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)

專題：計算題,壓軸題

分析：運用換元設(shè)2^x=u，2^y=v，由于x≥-1，y≥-1即u≥

1

2

，v≥

1

2

，將2^x+2^y=4^x+4^y，轉(zhuǎn)化為（u-

1

2

）²+（v-

1

2

）²=

1

2

表示

1

4

個圓弧AB，將2^2x-y+2^2y-x化簡得到

u

v

+

v

u

-(u+v)+2，再換元令k=

u

v

，求出k的范圍是[

2

-1，

2

+1]，再運用基本不等式求出k+

1

k

的最小值，同時求出u，v，此時u+v取得最大，從而得到所求的最小值2；再求出k+

1

k

的最大值，同時求出u，v的值，得到u+v的最小值，從而得到所求的最大值即可．

解答： 解：設(shè)2^x=u，2^y=v，
∵x≥-1，y≥-1，∴u≥

1

2

，v≥

1

2

，
則2^x+2^y=4^x+4^y即為u+v=u²+v²，
（u-

1

2

）²+（v-

1

2

）²=

1

2

表示

1

4

個圓弧AB，
∴2^2x-y+2^2y-x=

u2

v

+

v2

u

=

u3+v3

uv

=

(u+v)(u2+v2-uv)

uv

=

(u+v)2

uv

-(u+v)
=

u

v

+

v

u

-(u+v)+2
令k=

u

v

，則∵A(

1

2

，

1+ 2

2

)，B(

1+ 2

2

，

1

2

)
∴k的范圍是[

2

-1，

2

+1]，
則

u

v

+

v

u

=k+

1

k

，當k=1時取最小值2，
此時u+v取最大值2，且u=v=1，
∴

u

v

+

v

u

-(u+v)+2的最小值為2-2+2=2，
∵k+

1

k

的最大值為2

2

，此時k=

2

+1，或

2

-1，
即u=

1+ 2

2

，v=

1

2

，或u=

1

2

，v=

1+ 2

2

，
此時u+v取最小值1+

2

2

，
∴

u

v

+

v

u

-(u+v)+2的最大值為2

2

-1-

2

2

+2=

3 2 +2

2

，
∴2^2x-y+2^2y-x的取值范圍是[2，

3 2 +2

2

]，
故答案為：[2，

3 2 +2

2

]．

點評：本題主要考查基本不等式及運用，考查對勾函數(shù)y=x+

a

x

（a＞0）的性質(zhì)及運用，同時考查直線與圓的位置關(guān)系，考查最大減最小得最大，最小減最大得最小，注意等號同時取得，及運算能力，是一道難題．