Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：只有一個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】解：

（1）當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=，f ′（x）=．

令f ′（x）=0解得x=或x=．

當(dāng)x∈（–∞，）∪（，+∞）時(shí)，f ′（x）>0；

當(dāng)x∈（，）時(shí)，f ′（x）<0．

故f（x）在（–∞，），（，+∞）單調(diào)遞增，在（，）單調(diào)遞減．

（2）由于，所以等價(jià)于．

設(shè)=，則g ′（x）=≥0，僅當(dāng)x=0時(shí)g ′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）單調(diào)遞增．故g（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)，從而f（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)．

又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一個(gè)零點(diǎn)．

綜上，f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)．

【解析】分析：（1）將代入，求導(dǎo)得，令求得增區(qū)間，令求得減區(qū)間；（2）令，即，則將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)問(wèn)題，研究函數(shù)單調(diào)性可得.

詳解：（1）當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=，f ′（x）=．

令f ′（x）=0解得x=或x=．

當(dāng)x∈（–∞，）∪（，+∞）時(shí)，f ′（x）>0；

當(dāng)x∈（，）時(shí)，f ′（x）<0．

故f（x）在（–∞，），（，+∞）單調(diào)遞增，在（，）單調(diào)遞減．

（2）由于，所以等價(jià)于．

設(shè)=，則g ′（x）=≥0，僅當(dāng)x=0時(shí)g ′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）單調(diào)遞增．故g（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)，從而f（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)．

又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一個(gè)零點(diǎn)．

綜上，f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)．