Question

已知f（x）=-3x²+a（5-a）x+b．
（1）當(dāng)a=4，b=15時(shí)，解不等式f（x）＞0；
（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)a，f（2）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,一元二次不等式的解法

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）先求出相應(yīng)二次方程的兩根，然后借助二次函數(shù)圖象可解得不等式；
（2）由f（2）＜0得，2a²-10a+12-b＞0，由題意可得△＜0，從而可得b的不等式；

解答： 解：（1）當(dāng)a=4，b=15時(shí)，原不等式f（x）＞0可化為3x²-4x-15＜0，
∵△=（-4）²-4×3×（-15）=196＞0，
∴方程3x²-4x-15=0有兩個(gè)不等實(shí)根為x1=-

5

3

，x₂=3，
∴3x²-4x-15＜0的解集為{x|-

5

3

＜x＜3}，即原不等式f（x）＞0的解集為{x|-

5

3

＜x＜3}．
（2）由f（2）＜0得，2a²-10a+12-b＞0，
∵對(duì)a∈R，f（2）＜0恒成立，
∴△＜0，即（-10）²-4×2×（12-b）＜0，
解得b＜-

1

2

，
∴實(shí)數(shù)b的取值范圍為b＜-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立、一元二次不等式的解法、二次函數(shù)的性質(zhì)，深刻理解“三個(gè)二次”間的關(guān)系是解決相關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵．