Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=3，且a_n+2=（1+2|cos

nπ

2

|）a_n+|sin

nπ

2

|，（n∈N₊）
（1）證明：數(shù)列{a_2k}（k∈N₊）為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）求數(shù)列{a_n}的前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)n=2k，k∈N^*，由已知條件推導(dǎo)出

a2k+2

a2k

=3，由此能證明數(shù)列{a_2k}為等比數(shù)列．
（2）設(shè)n=2k-1，由已知條件推導(dǎo)出a_2k+1-a_2k-1=1，從而得到a_2k-1=k．由此能求出an ．
（3）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為Tn ，利用分類討論思想和分組求和法能求出數(shù)列{a_n}的前n項和．

解答： （1）證明：設(shè)n=2k，k∈N^*，
∵a_n+2=（1+2|cos

nπ

2

|）a_n+|sin

nπ

2

|，（n∈N₊），
又a₂=3，
∴

a2k+2

a2k

=3．
∴當(dāng)k∈N^*時，數(shù)列{a_2k}為等比數(shù)列．
∴a_2k=a₂•3^k-1=3^k．
（2）解：設(shè)n=2k-1，k∈N^*．
由a_2k+1=（1+2|cos

(2k-1)π

2

|）a_2k-1+|sin

(2k-1)π

2

|=a_2k-1+1，
∴a_2k+1-a_2k-1=1．
∴當(dāng)k∈N^*時，數(shù)列{a_2k-1}為等差數(shù)列．
∴a_2k-1=a₁+（k-1）•1=k．
∴an =

3 n 2 ，n是偶數(shù) n+1 2 ，n是奇數(shù)

．
（3）解：設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為Tn ．
由（2）知：
當(dāng)n為奇數(shù)時，T_n=a1 +a2+a3+…+an-1+an
=1+3+2+3²+3+3³+4+3⁴+…+3

n-1

2

+

n+1

2

=（1+2+3+4+…+

n+1

2

）+（3+3²+3³+3⁴+…+3

n-1

2

）
=

n+1 2 (1+ n+1 2 )

2

+

3(1-3 n-1 2 )

1-3

=

n+1

4

(1+

n+1

2

)+

3

2

（3

n-1

2

-1）．
當(dāng)n為偶數(shù)時，T_n=a1 +a2+a3+…+an-1+an
=1+3+2+3²+3+3³+4+3⁴+…+

n-1

2

+3

n

2

=（1+2+3+4+…+

n-1

2

）+（3+3²+3³+3⁴+…+3

n

2

）
=

n-1 2 (1+ n-1 2 )

2

+

3(1-3 n 2 )

1-3

=

n2-1

4

+

3

2

（3

n

2

-1）．

點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意分組求和法的合理運用．