【題目】函數(shù)f(x)=x3+sinx+2x的定義域為R,數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,且a1+a2+a3+a4+…a2015<0,記m=f(a1)+f(a2)+f(a3)+…f(a2015),關(guān)于實數(shù)m,下列說法正確的是( 。
A.m恒為負(fù)數(shù)
B.m恒為正數(shù)
C.當(dāng)d>0時,m恒為正數(shù);當(dāng)d<0時,m恒為負(fù)數(shù)
D.當(dāng)d>0時,m恒為負(fù)數(shù);當(dāng)d<0時,m恒為正數(shù)
【答案】A
【解析】∵函數(shù)f(x)=x3+2x+sinx的定義域為R、是奇函數(shù),
且它的導(dǎo)數(shù)f′(x)=x2+1+cosx≥0,故函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).
因為數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,分3種情況討論:
①當(dāng)d>0時,數(shù)列為遞增數(shù)列,由a1+a2015<0,
可得 a2015<﹣a1 , ∴f(a2015)<f(﹣a1)=﹣f(a1),∴2f(a1008)=f(a1)+f(a2015)<0.
同理可得,f(a2)+f(a2014)<0,f(a3)+f(a2013)<0,…
故 m=f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2012)+f(a2014)
=f(a1)+f(a2015)+f(a2)+f(a2014)+f(a3)+f(a2013)+…+f(a1008)<0.
②當(dāng)d<0時,數(shù)列為遞減數(shù)列,同理求得 m<0.
③當(dāng)d=0時,該數(shù)列為常數(shù)數(shù)列,每一項都小于,故有f(an)<0,
綜上,有m=f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2014)+f(a2015)<0,
故選A.
【考點精析】掌握函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和函數(shù)的值是解答本題的根本,需要知道在公共定義域內(nèi),偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù);奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù);偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù);一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性:一個為偶就為偶,兩個為奇才為奇;函數(shù)值的求法:①配方法(二次或四次);②“判別式法”;③反函數(shù)法;④換元法;⑤不等式法;⑥函數(shù)的單調(diào)性法.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了解高三年級學(xué)生寒假期間的學(xué)習(xí)情況,抽取甲、乙兩班,調(diào)查這兩個班的學(xué)生在寒假期間每天平均學(xué)習(xí)的時間(單位:小時),統(tǒng)計結(jié)果繪成頻率分別直方圖(如圖).已知甲、乙兩班學(xué)生人數(shù)相同,甲班學(xué)生每天平均學(xué)習(xí)時間在區(qū)間的有8人.
(I)求直方圖中的值及甲班學(xué)生每天平均學(xué)習(xí)時間在區(qū)間的人數(shù);
(II)從甲、乙兩個班每天平均學(xué)習(xí)時間大于10個小時的學(xué)生中任取4人參加測試,設(shè)4人中甲班學(xué)生的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)k>0,函數(shù)f(x)=+x+kln|x﹣1|.
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)函數(shù)f(x)有兩個極值點,且0<θ<π時,證明:(2k﹣1)sinθ+(1﹣k)sin[(1﹣k)θ]>0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓C: ,直線l:
(Ⅰ)求直線l所過定點A的坐標(biāo);
(Ⅱ)求直線l被圓C所截得的弦長最短時m的值及最短弦長;
(Ⅲ)已知點,在直線MC上(C為圓心),存在定點N(異于點M),滿足:對于圓C上任一點P,都有為一常數(shù),試求所有滿足條件的點N的坐標(biāo)及該常數(shù)。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,離心率為 , 且經(jīng)過點M(4,1),直線l:y=x+m交橢圓于不同的兩點A,B.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)求m的取值范圍;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正三棱錐P﹣ABC,點P、A、B、C都在半徑為的球面上,若PA、PB、PC兩兩互相垂直,則球心到截面ABC的距離為( 。
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】養(yǎng)正中學(xué)新校區(qū)內(nèi)有一塊以O為圓心,R(單位:米)為半徑的半圓形荒地(如圖),校總務(wù)處計劃對其開發(fā)利用,其中弓形BCD區(qū)域(陰影部分)用于種植觀賞植物,△OBD區(qū)域用于種植花卉出售,其余區(qū)域用于種植草皮出售。已知種植觀賞植物的成本是每平方米20元,種植花卉的利潤是每平方米80元,種植草皮的利潤是每平方米30元。
(1)設(shè)(單位:弧度),用表示弓形BCD的面積
(2)如果該?倓(wù)處邀請你規(guī)劃這塊土地。如何設(shè)計的大小才能使總利潤最大?并求出該最大值
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