已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在
x軸上,離心率為
,它的一個(gè)頂點(diǎn)為拋物線
x2=4
y的焦點(diǎn).
(1)求橢圓方程;
(2)若直線
y=
x-1與拋物線相切于點(diǎn)
A,求以
A為圓心且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程;
(3)若斜率為1的直線交橢圓于
M、
N兩點(diǎn),求△
OMN面積的最大值(
O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)
+
y2=1(2)(
x-2)
2+(
y-1)
2=4(3)
(1)由題意設(shè)橢圓方程為:
=1(
a>
b>0),
因?yàn)閽佄锞
x2=4
y的焦點(diǎn)為(0,1),
所以
b=1.由離心率
e=
=
,
a2=
b2+
c2解得
a=
,
b=1,
c=1,橢圓方程為
+
y2=1.
(2)由
解得
,所以
A=(2,1).
因?yàn)閽佄锞的準(zhǔn)線方程為
y=-1,
所以圓的半徑
r=1-(-1)=2,
所以圓的方程為(
x-2)
2+(
y-1)
2=4.
(3)設(shè)直線
MN方程為
y=
x+
m,由
得3
x2+4
mx+2
m2-2=0.
由判別式
Δ=16
m2-12(2
m2-2)>0,解得-
<
m<
.
設(shè)
M(
x1,
y1),
N(
x2,
y2),則
x1+
x2=-
m,
x1x2=
,
所以|
MN|=
原點(diǎn)
O到直線
MN的距離
d=
S=
|
MN|
d=
=
≤
(
m2+3-
m2)=
.
當(dāng)且僅當(dāng)
m2=3-
m2即
m=±
時(shí)等號(hào)成立,所以三角形
OMN面積的最大值為
.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
已知橢圓
、拋物線
的焦點(diǎn)均在
軸上,
的中心和
的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)
,從每條曲線上取兩個(gè)點(diǎn),將其坐標(biāo)記錄如下:
、
、
、
.
(1)經(jīng)判斷點(diǎn)
,
在拋物線
上,試求出
的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求拋物線
的焦點(diǎn)
的坐標(biāo)并求出橢圓
的離心率;
(3)過(guò)
的焦點(diǎn)
直線與橢圓
交不同兩點(diǎn)
且滿足
,試求出直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
如圖,焦距為
的橢圓
的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為
和
,且
與n
,
共線.
(1)求橢圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線
與橢圓
有兩個(gè)不同的交
點(diǎn)
和
,且原點(diǎn)
總在以
為直徑的圓的內(nèi)部,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:填空題
已知橢圓
=1(0<
b<2)與
y軸交于
A,
B兩點(diǎn),點(diǎn)
F為該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),則△
ABF面積的最大值為________.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:單選題
已知橢圓
上一點(diǎn)
到右焦點(diǎn)的距離是1,則點(diǎn)
到左焦點(diǎn)的距離是( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
已知橢圓
=1上任一點(diǎn)
P,由點(diǎn)
P向
x軸作垂線
PQ,垂足為
Q,設(shè)點(diǎn)
M在
PQ上,且
=2
,點(diǎn)
M的軌跡為
C.
(1)求曲線
C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)
D(0,-2)作直線
l與曲線
C交于
A、
B兩點(diǎn),設(shè)
N是過(guò)點(diǎn)
且平行于
x軸的直線上一動(dòng)點(diǎn),且滿足
=
+
(
O為原點(diǎn)),且四邊形
OANB為矩形,求直線
l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:填空題
已知橢圓
:
的短軸長(zhǎng)為2,離心率為
,設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)的直線
與橢圓
交于不同的兩點(diǎn)A,B,過(guò)A,B作直線
的垂線AP,BQ,垂足分別為P,Q.記
, 若直線l的斜率
≥
,則
的取值范圍為
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:單選題
已知直線
l交橢圓4
x2+5
y2=80于
M,
N兩點(diǎn),橢圓與
y軸的正半軸交于
B點(diǎn),若△
BMN的重心恰好落在橢圓的右焦點(diǎn)上,則直線
l的方程是 ( ).
A.6x-5y-28=0 | B.6x+5y-28=0 |
C.5x+6y-28=0 | D.5x-6y-28=0 |
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:單選題
當(dāng)0 < a < 1時(shí),方程
=1表示的曲線是 ( )
A.圓 | B.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 |
C.焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 | D.雙曲線 |
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