【題目】已知橢圓的離心率，過焦點且垂直于x軸的直線被橢圓截得的線段長為3．

（1）求橢圓的方程；

（2）動直線與橢圓交于A,B兩點，在平面上是否存在定點P，使得當直線PA與直線PB的斜率均存在時，斜率之和是與無關(guān)的常數(shù)？若存在，求出所有滿足條件的定點P的坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）由離心率寫出a，c的關(guān)系，結(jié)合條件求得a與b的關(guān)系，再由則橢圓方程可求；

（2）設(shè)出A，B，P的坐標，聯(lián)立直線與橢圓方程，將斜率之和用坐標表示，利用韋達定理，化簡，并利用多項式的恒等條件（相同次項的系數(shù)相等）建立方程，解得P的坐標．

(1) 設(shè)橢圓的半焦距為c，則，且．由解得．

依題意，，于是橢圓的方程為．

(2)設(shè)，P(m,n),將，與橢圓方程聯(lián)立得

則有

如果存在P（m，n）使得kPA+kPB為定值，那么kPA+kPB的取值將與t無關(guān)，

又直線PA,PB的斜率之和為：

當時斜率的和恒為0，解得

綜上所述，所有滿足條件的定點P的坐標為或．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知被直線分成面積相等的四部分，且截軸所得線段的長為2.

(1)求的方程；

(2)若存在過點的直線與相交于兩點，且，求實數(shù)的取值范圍．

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【題目】已知函數(shù).

（1）當時，若函數(shù)恰有一個零點，求的取值范圍；

（2）當時， 恒成立，求的取值范圍.

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【題目】設(shè)橢圓的右頂點為，上頂點為.已知橢圓的焦距為，直線的斜率為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設(shè)直線（）與橢圓交于，兩點，且點在第二象限.與延長線交于點，若的面積是面積的倍，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)，，其中a，．

Ⅰ求的極大值；

Ⅱ設(shè)，，若對任意的，恒成立，求a的最大值；

Ⅲ設(shè)，若對任意給定的，在區(qū)間上總存在s，，使成立，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在圓心角為直角的扇形OAB區(qū)域中，M、N分別為OA、OB的中點，在M、N兩點處各有一個通信基站，其信號的覆蓋范圍分別為以OA、OB為直徑的圓，在扇形OAB內(nèi)隨機取一點，則此點無信號的概率是　

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，邊長為的正方形，，

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）證明：在線段上存在點，使得，并求的值。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c為常數(shù)，則四面體ABCD的體積的最大值是 .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，.

（1）求證：；

（2）若，，為的中點．

（i）過點作一直線與平行，在圖中畫出直線并說明理由；

（ii）求平面將三棱錐分成的兩部分體積的比．

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