【題目】如圖,在三棱柱中,邊長為的正方形,

1)求證:平面;

2)求二面角的余弦值;

3)證明:在線段上存在點(diǎn),使得,并求的值。

【答案】1)證明見解析;(23)證明見解析;

【解析】

1)根據(jù)所給線段長度,由勾股定理逆定理可得,結(jié)合正方形中的垂直關(guān)系,利用線面垂直的判定定理即可判斷平面.

2)以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),求得平面與平面的法向量,根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求得向量夾角的余弦值.

3)假設(shè)在線段上存在點(diǎn),設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)垂直時(shí)的向量坐標(biāo)運(yùn)算求得點(diǎn)的坐標(biāo),即可證明存在點(diǎn);根據(jù)相似,即可求得的值.

1)因?yàn)?/span>邊長為的正方形, ,,

,

又正方形,

所以平面

2)以為原點(diǎn),以所在直線為,所在直線為,所在直線為,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

,,,

所以,,

設(shè)平面的法向量為,平面的法向量為,

代入可得,令則解得

所以

同理代入可得,令則解得

所以

由圖可知, 平面與平面形成的二面角為銳二面角

所以二面角的余弦值為

3)證明:假設(shè)在線段上存在點(diǎn),使得,,,如下圖所示:

設(shè),則由,,所以

,,,所以

所以

所以,

因?yàn)?/span>

所以

,化簡可得

解得

即在線段上存在點(diǎn),使得

練習(xí)冊系列答案
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3)若將取出的個(gè)球放入一箱子中,記“從箱子中任意取出個(gè)球,然后放回箱子中”為一次操作,如果操作三次,求恰有一次取到個(gè)紅球并且恰有一次取到個(gè)白球的概率.

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