設直線y=2x-4與拋物線y2=4x交于A，B兩點（點A在第一象限）．
（Ⅰ）求A，B兩點的坐標；
（Ⅱ）若拋物線y2=4x的焦點為F，求cos∠AFB的值．
分析：（Ⅰ）由直線y=2x-4與拋物線y2=4x，消y得一元二次方程，解方程，即可確定A，B兩點的坐標；
（Ⅱ）解一：確定
FA
=(3，4)，
FB
=（0，-2），利用向量的夾角公式，可求cos∠AFB的值．
解二：求出|AB|、|FA|、|FB|=2，利用余弦定理，可求cos∠AFB的值．
解答：解：（Ⅰ）由
y2=4x
y=2x-4
，消y得：x2-5x+4=0…（3分）
解出x1=1，x2=4，于是，y1=-2，y2=4
因點A在第一象限，所以A，B兩點坐標分別為A（4，4），B（1，-2）…（6分）
（Ⅱ）解一：拋物線y2=4x的焦點為F（1，0）…（8分）
由（Ⅰ）知，A（4，4），B（1，-2），
FA
=(3，4)，
FB
=（0，-2）…（10分）
于是，cos∠AFB=
FA
•
FB
|
FA
|•|
FB
|
=
(3，4)•(0，-2)
5×2
=-
4
5
…（14分）
解二：拋物線y2=4x的焦點為F（1，0）…（8分）
由兩點間的距離公式可得|AB|=
(4-1)2+(4+2)2
=3
5
，|FA|=5，|FB|=2…（11分）
由余弦定理可得cos∠AFB=
|FA|2+|FB|2-|AB|2
2|FA||FB|
=
25+4-45
2×5×2
=-
4
5
…（14分）
點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查角的計算，正確運用向量知識、余弦定理是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設點C為曲線y=
2x
（x＞0）上任一點，以點C為圓心的圓與x軸交于點E、A，與y軸交于點E、B．
（1）證明多邊形EACB的面積是定值，并求這個定值；
（2）設直線y=-2x+4與圓C交于點M，N，若|EM|=|EN|，求圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知以點C （t，
2
t
）（t∈R），t≠0）為圓心的圓與x軸交于點O，A，與y軸交于點O，B，其中O為坐標原點．
（1）求證：△OAB的面積為定值．
（2）設直線y=-2x+4與圓C交于點M，N若|OM|=|ON|，求圓C的方程．
（3）若t＞0，當圓C的半徑最小且時，圓C上至少有三個不同的點到直線l：y-
2
=k(x-3-
2
)的距離為
1
2
，求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓C：x2+y2-2tx-
4t
y=0(t∈R，t≠0)與x軸交于點O、A，與y軸交于點O、B，其中O為原點．
（1）求證：△OAB的面積為定值；
（2）設直線y=-2x+4與圓C交于點M、N，若|OM|=|ON|，求圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知以點C（t，
2t
）（t∈R，t≠0）為圓心的圓與x軸交于點O、A，與y軸交于點O、B，其中O為原點．
（1）求證：△OAB的面積為定值；
（2）設直線y=-2x+4與圓C交于點M，N，若OM=ON，求圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知：以點C（t，
2t
）（t∈R，t≠0）為圓心的圓與x軸交于點O，A，與y軸交于點O，B，其中O為原點．
（Ⅰ）當t=2時，求圓C的方程；
（Ⅱ）求證：△OAB的面積為定值；
（Ⅲ）設直線y=-2x+4與圓C交于點M，N，若|OM|=|ON|，求圓C的方程．

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