設(shè)點C為曲線y=
2x
(x>0)上任一點,以點C為圓心的圓與x軸交于點E、A,與y軸交于點E、B.
(1)證明多邊形EACB的面積是定值,并求這個定值;
(2)設(shè)直線y=-2x+4與圓C交于點M,N,若|EM|=|EN|,求圓C的方程.
分析:(1)由題意,由于以點C為圓心的圓與x軸交于點E、A,與y軸交于點E、B,所以先得到點E為原點,利用方程的思想設(shè)出圓心C的坐標(biāo),進而利用面積公式求解;
(2)由于|EM|=|EN|此可以轉(zhuǎn)化為點E應(yīng)在線段MN的垂直平分線上,利用圓的性質(zhì)可得EC與MN垂直建立t的方程求解即可.
解答:解:
(1)證明:點C(t,
2
t
)
(t>0),
因為以點C為圓心的圓與x軸交于點E、A,與y軸交于點E、B.
所以點E是直角坐標(biāo)系原點,即E(0,0).
于是圓C的方程是(x-t)2+(y-
2
t
)2=t2+
4
t2
.則A(2t,0),B(0,
4
t
)

由|CE|=|CA|=|CB|知,圓心C在Rt△AEB斜邊AB上,
于是多邊形EACB為Rt△AEB,
其面積S=
1
2
|EA|•|EB|=
1
2
•2t•
4
t
=4

所以多邊形EACB的面積是定值,這個定值是4.
(2)若|EM|=|EN|,則E在MN的垂直平分線上,即EC是MN的垂直平分線,kEC=
2
t
t
=
2
t2
,kMN=-2.
所以由kEC•kMN=-1,得t=2,
所以圓C的方程是(x-2)2+(y-1)2=5.
點評:(1)重點考查了利用方程的思想用以變量t寫出圓的方程,判斷出圓心O在AB上,故四邊形為直角三角形,還考查了三角形的面積公式;
(2)重點考查了垂直平分線的等價式子,還考查了方程的求解思想,及兩直線垂直的實質(zhì)解直線的斜率互為負倒數(shù).
練習(xí)冊系列答案
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