已知:以點C(t,
2t
)(t∈R,t≠0)為圓心的圓與x軸交于點O,A,與y軸交于點O,B,其中O為原點.
(Ⅰ)當t=2時,求圓C的方程;
(Ⅱ)求證:△OAB的面積為定值;
(Ⅲ)設直線y=-2x+4與圓C交于點M,N,若|OM|=|ON|,求圓C的方程.
分析:(Ⅰ)當t=2時,圓心為C(2,1),即可得出圓C的方程;
(Ⅱ)求出半徑,寫出圓的方程,再解出A、B的坐標,表示出面積即可;
(Ⅲ)設MN的中點為H,則CH⊥MN,根據(jù)C、H、O三點共線,KMN=-2,由直線OC的斜率k=
2
t
t
=
1
2
,求得t的值,可得所求的圓C的方程.
解答:(Ⅰ)解:當t=2時,圓心為C(2,1),
∴圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5;
(Ⅱ)證明:由題設知,圓C的方程為(x-t)2+(y-
2
t
2=t2+
4
t2
,
化簡得x2-2tx+y2-
4
t
y=0.
當y=0時,x=0或2t,則A(2t,0);
當x=0時,y=0或
4
t
,則B(0,
4
t
),
∴S△AOB=
1
2
OA•OB=
1
2
|2t|•|
4
t
|=4為定值.
(Ⅲ)解:∵OM=ON,則原點O在MN的中垂線上,設MN的中點為H,則CH⊥MN,
∴C、H、O三點共線,KMN=-2,則直線OC的斜率k=
2
t
t
=
1
2
,
∴t=2或t=-2.
∴圓心為C(2,1)或C(-2,-1),
∴圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5.
由于當圓方程為(x+2)2+(y+1)2=5時,直線2x+y-4=0到圓心的距離d>r,
此時不滿足直線與圓相交,故舍去,
∴所求的圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5.
點評:本題考查直線與圓的位置關(guān)系,圓的標準方程等有關(guān)知識,考查學生分析解決問題的能力,考查學生的計算能力,是中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知,以點C(t,
2t
)為圓心的圓與x軸交于O、A兩點,與y軸交于O、B兩點.
(1)求證:S△AOB為定值;
(2)設直線y=-2x+4(3)與圓C交于點M、N,若OM=ON,求圓C的方程.

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已知,以點Ct,)為圓心的圓與x軸交于O、A兩點,與y軸交于O、B兩點.

1、求證:SAOB為定值;

2、設直線與圓C交于點M、N,若OM = ON,求圓C的方程.

 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知:以點Ct, )(t∈R , t 0)為圓心的圓與軸交于點O, A,與y軸交于點O, B,其中O為原點.

(1)求證:△OAB的面積為定值;

(2)設直線y = –2x+4與圓C交于點M, N,若OM = ON,求圓C的方程.

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已知,以點C(t,)為圓心的圓與x軸交于O、A兩點,與y軸交于O、B兩點.
(1)求證:S△AOB為定值;
(2)設直線y=-2x+4(3)與圓C交于點M、N,若OM=ON,求圓C的方程.

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