已知圓C:x2+y2-2tx-
4t
y=0(t∈R,t≠0)
與x軸交于點O、A,與y軸交于點O、B,其中O為原點.
(1)求證:△OAB的面積為定值;
(2)設(shè)直線y=-2x+4與圓C交于點M、N,若|OM|=|ON|,求圓C的方程.
分析:(1)由題意知A(2t,0),B(0,
4
t
)
,進而表示出面積即可得到答案.
(2)由OM=ON,CM=CN可得OC垂直平分線段MN,根據(jù)題意得到直線OC的方程是y=
1
2
x
,所以t=2或t=-2,再分別驗證t的數(shù)值是否正確,進而得到答案.
解答:解:(1)由題意知A(2t,0),B(0,
4
t
)

S△OAB=
1
2
OA×OB=
1
2
×|
4
t
|×|2t|=4
,
所以△OAB的面積為定值.
(2)∵OM=ON,CM=CN,
∴OC垂直平分線段MN.
∵kMN=-2,
koc=
1
2
,
∴直線OC的方程是y=
1
2
x

又因為圓心C(t,
2
t
),
所以
2
t
=
1
2
t
,解得:t=2或t=-2.
①當(dāng)t=2時,圓心C的坐標(biāo)為(2,1),OC=
5
,
此時C到直線y=-2x+4的距離d=
1
5
5
,圓C與直線y=-2x+4相交于兩點.
②當(dāng)t=-2時,圓心C的坐標(biāo)為(-2,-1),OC=
5

此時C到直線y=-2x+4的距離d=
9
5
5
,圓C與直線y=-2x+4不相交,∴t=-2不符合題意舍去.
∴圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5.
點評:本題主要考查圓與直線的方程,以及直線與圓的位置關(guān)系,并且熟練掌握運用點到直線的距離公式判斷直線與圓的位置關(guān)系,是一道中檔題.
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7
,求此圓方程.
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(1)當(dāng)r=1時,試用k表示點B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)r=1時,試證明:點B一定是單位圓C上的有理點;(說明:坐標(biāo)平面上,橫、縱坐標(biāo)都為有理數(shù)的點為有理點.我們知道,一個有理數(shù)可以表示為
qp
,其中p、q均為整數(shù)且p、q互質(zhì))
(3)定義:實半軸長a、虛半軸長b和半焦距c都是正整數(shù)的雙曲線為“整勾股雙曲線”.
當(dāng)0<k<1時,是否能構(gòu)造“整勾股雙曲線”,它的實半軸長、虛半軸長和半焦距的長恰可由點B的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和半徑r的數(shù)值構(gòu)成?若能,請嘗試探索其構(gòu)造方法;若不能,試簡述你的理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•瀘州一模)已知圓C:x2+y2=r2(r>0)與拋物線y2=40x的準(zhǔn)線相切,若直線l:
x
a
y
b
=1
與圓C有公共點,且公共點都為整點(整點是指橫坐標(biāo).縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點),那么直線l共有( 。

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已知圓C:x2+y2=4與直線L:x+y+a=0相切,則a=( 。

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