Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=

8

9

，a_n+1=a_n+

8(n+1)

(2n+1)2(2n+3)2

（1）求a₂、a₃；
（2）猜想{a_n}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（3）求證：a₁+a₂+…+a_n＞n-

1

4

（n∈N^*）

Answer 1

考點：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用a₁=

8

9

，a_n+1=a_n+

8(n+1)

(2n+1)2(2n+3)2

，計算可求a₂、a₃；
（2）猜想{a_n}的通項公式，利用數(shù)學(xué)歸納法證明步驟進(jìn)行證明．
（3）證明a_n=1-

1

(2n+1)2

＞1-

1

4n(n+1)

=1-

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），疊加，即可證明結(jié)論．

解答： （1）解：∵a₁=

8

9

，a_n+1=a_n+

8(n+1)

(2n+1)2(2n+3)2

∴a₂=

24

25

，a₃=

48

49

；
（2）解：猜想a_n=1-

1

(2n+1)2

，
證明如下：①n=1時，結(jié)論成立；
②假設(shè)n=k時，結(jié)論成立，即a_k=1-

1

(2k+1)2

，
則n=k+1時，a_k+1=a_k+

8(k+1)

(2k+1)2(2k+3)2

=1-

1

(2k+1)2

+

8(k+1)

(2k+1)2(2k+3)2

=1-

1

(2k+3)2

，
即n=k+1時，結(jié)論成立．
綜上，a_n=1-

1

(2n+1)2

；
（3）證明：∵a_n=1-

1

(2n+1)2

＞1-

1

4n(n+1)

=1-

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），
∴a₁+a₂+…+a_n＞n-

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=n-（

1

4

-

1

n+1

）=n-

1

4

+

1

4(n+1)

＞n-

1

4

．
即a₁+a₂+…+a_n＞n-

1

4

．

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查不等式的證明，考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)．