【題目】已知焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標原點,且兩條漸近線與以點為圓心,1為半徑的圓相切,又知C的一個焦點與P關于直線對稱.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)設直線與雙曲線C的左支交于A、B兩點,另一直線經過及AB的中點,求直線在y軸上的截距b的取值范圍;
(3)若Q是雙曲線C上的任一點,、為雙曲線C的左、右兩個焦點,從引的角平分線的垂線,垂足為N,試求點N的軌跡方程.
【答案】(1);(2);(3),.
【解析】
(1)設雙曲線的漸近線方程為,則,由該直線與圓相切,知雙曲線的兩條漸近線方程為.由此利用雙曲線的一個焦點為,能求出雙曲線的方程.
(2)由,得.令.直線與雙曲線左支交于兩點,等價于方程在上有兩個不等實根.由此能求出直線在軸上的截距的取值范圍.
(3)若在雙曲線的右支上,則延長到,使,若在雙曲線的左支上,則在上取一點,使.由此能求出點的軌跡方程.
(1)設雙曲線的漸近線方程為,則,
該直線與圓相切,
雙曲線的兩條漸近線方程為.
故設雙曲線的方程為.
又雙曲線的一個焦點為,
,.
雙曲線的方程為.
(2)由,得.
令
直線與雙曲線左支交于兩點,等價于方程在上有兩個不等實根.
因此,解得.
又中點為,
因為直線與軸相交,所以,即,
直線的方程為.
令,得.
,
,
.
(3)若在雙曲線的右支上,
則延長到,使,
若在雙曲線的左支上,
則在上取一點,使.
根據雙曲線的定義,
所以點在以為圓心,2為半徑的圓上,
即點的軌跡方程是①
由于點是線段的中點,
設,,.
則,即.
代入①并整理得點的軌跡方程為.
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【題目】如圖,正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,O是BD的中點,E是棱CC1上任意一點.
(1)證明:BD⊥A1E;
(2)如果AB=2,,OE⊥A1E,求AA1的長.
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【題目】為滿足人們的閱讀需求,圖書館設立了無人值守的自助閱讀區(qū),提倡人們在閱讀后將圖書分類放回相應區(qū)域.現隨機抽取了某閱讀區(qū)500本圖書的分類歸還情況,數據統(tǒng)計如下(單位:本).
文學類專欄 | 科普類專欄 | 其他類專欄 | |
文學類圖書 | 100 | 40 | 10 |
科普類圖書 | 30 | 200 | 30 |
其他圖書 | 20 | 10 | 60 |
(1)根據統(tǒng)計數據估計文學類圖書分類正確的概率;
(2)根據統(tǒng)計數據估計圖書分類錯誤的概率;
(3)假設文學類圖書在“文學類專欄”、“科普類專欄”、“其他類專欄”的數目分別為,,,其中,,,當,,的方差最大時,求,的值,并求出此時方差的值.
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【題目】在①函數的圖象向右平移個單位長度得到的圖象,圖象關于原點對稱;②向量,;③函數這三個條件中任選一個,補充在下面問題中,并解答.已知_________,函數的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為.
(1)若且,求的值;
(2)求函數在上的單調遞減區(qū)間.
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【題目】已知各項均為正數的數列的前項和為且滿足:
(1)求數列的通項公式;
(2)設求的值;
(3)是否存在大于2的正整數使得?若存在,求出所有符合條件的若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面為正方形,底面,,為線段的中點,若為線段上的動點(不含).
(1)平面與平面是否互相垂直?如果是,請證明;如果不是,請說明理由;
(2)求二面角的余弦值的取值范圍.
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【題目】關于函數,給出以下四個命題:(1)當時,單調遞減且沒有最值;(2)方程一定有實數解;(3)如果方程(為常數)有解,則解得個數一定是偶數;(4)是偶函數且有最小值.其中假命題的序號是____________.
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