【題目】已知函數(shù)，.

（1）若函數(shù)有唯一的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）求證：.

【答案】（1）且.（2）證明見解析

【解析】

（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，分類討論根據(jù)函數(shù)有唯一極小值點(diǎn)，最后求出實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）對所要證明的式子進(jìn)行變形，構(gòu)造函數(shù)：，求導(dǎo)，最后利用函數(shù)的單調(diào)性證明出結(jié)論.

解：，

，

，，

設(shè)，

當(dāng)時(shí)，，在時(shí)，，即，所以單調(diào)遞減，

在時(shí)，，，所以單調(diào)遞增，所以函數(shù)有唯一的極小值

點(diǎn)成立；

當(dāng)時(shí)，令，得，，

在時(shí)，，即，所以單調(diào)遞減，

在時(shí)，，，所以單調(diào)遞增，

所以函數(shù)有唯一的極小值點(diǎn)成立；

當(dāng)時(shí)，令，得，，當(dāng)時(shí)不合題意，

則，且，即且，

設(shè)，，

在時(shí)，，即，所以單調(diào)遞減，

在時(shí)，，，所以單調(diào)遞增，

在時(shí)，，即，所以單調(diào)遞減，

所以函數(shù)有唯一的極小值點(diǎn)成立；

綜上所述，的取值范圍為且.

（2）令，，

則，

令，易知在上單增，且，

所以當(dāng)時(shí)，，從而，當(dāng)時(shí)，，從而，

在單減，在單增，則的最小值為，所以當(dāng)時(shí)，

，即，

即，所以，

所以.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極，z軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.

(Ⅰ)求曲線C的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)．若直線與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求的值．

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【題目】已知橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)為,,焦距為,直線:與橢圓相交于,兩點(diǎn),為弦的中點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）若直線:與橢圓相交于不同的兩點(diǎn),,,若（為坐標(biāo)原點(diǎn)）,求的取值范圍.

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【題目】已知直線與拋物線：交于，兩點(diǎn)，且的面積為16（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（1）求的方程.

（2）直線經(jīng)過的焦點(diǎn)且不與軸垂直，與交于，兩點(diǎn)，若線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，試問在軸上是否存在點(diǎn)，使為定值？若存在，求該定值及的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），圓的極坐標(biāo)方程為.

（1）求直線的普通方程與圓的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)圓與直線交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，求的值.

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【題目】某城市為配合國家“一帶一路”戰(zhàn)略，發(fā)展城市旅游經(jīng)濟(jì)，擬在景觀河道的兩側(cè)，沿河岸直線與修建景觀（橋），如圖所示，河道為東西方向，現(xiàn)要在矩形區(qū)域內(nèi)沿直線將與接通.已知，，河道兩側(cè)的景觀道路修復(fù)費(fèi)用為每米萬元，架設(shè)在河道上方的景觀橋部分的修建費(fèi)用為每米萬元.

（1）若景觀橋長時(shí)，求橋與河道所成角的大��；

（2）如何景觀橋的位置，使矩形區(qū)域內(nèi)的總修建費(fèi)用最低？最低總造價(jià)是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)（，為實(shí)數(shù)）.

（1）若為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；

（2）設(shè)，求函數(shù)的最小值（用表示）.

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【題目】如圖所示,四棱錐的底面是直角梯形，平面，,為中點(diǎn)，且.

（1）求證：平面；

（2）若與底面所成角為，求二面角的余弦值.

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【題目】已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩條漸近線與以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓相切，又知C的一個(gè)焦點(diǎn)與P關(guān)于直線對稱.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）設(shè)直線與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn)，另一直線經(jīng)過及AB的中點(diǎn)，求直線在y軸上的截距b的取值范圍；

（3）若Q是雙曲線C上的任一點(diǎn)，、為雙曲線C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，從引的角平分線的垂線，垂足為N，試求點(diǎn)N的軌跡方程.

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