Question

過直線l：y=2x上一點P作圓C：（x-6）²+（y-2）²=5的切線l₁，l₂，A，B為切點，若l₁，l₂關于直線l對稱，則∠APB=

 

．

Answer 1

考點：圓的切線方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：連接PC、AC，根據圓的性質和軸對稱知識，得當切線l₁，l₂關于直線l對稱時，直線l⊥PC，且PC平分∠APB．因此計算出圓的半徑和點M到直線l的距離，在Rt△PAC中利用三角函數定義算出∠APC的度數，從而得到∠APB的度數．

解答： 解：連接PC、AC，可得當直線l₁，l₂關于直線l對稱時，直線l⊥PC，且射線PC恰好是∠APB的平分線
∵圓C的方程為：（x-6）²+（y-2）²=5，
∴點C坐標為（6，2），半徑r=

5

點C到直線l：2x-y=0的距離為PC=

|2×6-2|

5

=2

5

由PA切圓C于A，得Rt△PAC中，sin∠APC=

AC

PC

=

1

2

，得∠APC=30°
∴∠APB=2∠APC=60°
故答案為：60°

點評：本題在直角坐標系中給出圓的兩條切線關于已知直線對稱，求它們之間所成的角，著重考查了圓的標準方程、點到直線的距離、直線與圓的位置關系和軸對稱等知識，屬于中檔題．