Question

[x]表示不超過x的最大整數(shù)，定義函數(shù)f（x）=x-[x]．則下列結(jié)論中正確的有

②

①函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，1]；
②方程f（x）=

1

2

有無(wú)數(shù)個(gè)解
③函數(shù)f（x）的圖象是一條直線；   
④函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)．

Answer 1

分析：在解答時(shí)要先充分理解[x]的含義，從而可知針對(duì)于選項(xiàng)注意對(duì)新函數(shù)的最值、單調(diào)性以及周期性加以分析即可．

解答：解：∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，又∵f（x+1）=（x+1）-[x+1]=x-[x]=f（x），
∴函數(shù){x}=x-[x]是周期為1的函數(shù)，每隔一個(gè)單位重復(fù)一次，
所以方程f（x）=

1

2

有無(wú)數(shù)個(gè)解，故②正確；
當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f（x）=x-[x]=x-0=x，∴函數(shù){x}的值域?yàn)閇0，1），故①錯(cuò)誤；
函數(shù){x}是周期為1的函數(shù)，∴函數(shù){x}不是單調(diào)函數(shù)，當(dāng)然圖象也不可能為一條直線，
故③④錯(cuò)誤．
故答案為：②

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)知識(shí)和函數(shù)值域等性質(zhì)的綜合類問題，屬中檔題．