Question

已知：函數f（x）=[x[x]]（x∈R），其中[x]表示不超過x的最大整數．
如[-2.1]=-3，[-3]=-3，[2.5]=2．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）若x∈[-2，3]，求f（x）的值域；
（3）若x∈[0，n]（n∈N*），f（x）的值域為A_n，現將A_n，中的元素的個數記為a_n．試求a_n+1與a_n的關系，并進一步求出a_n的表達式．

Answer 1

（1）∵f（

3

2

）=[

3

2

[

3

2

]]=[

3

2

•1]=[

3

2

]=1，
f（-

3

2

）=[-

3

2

[-

3

2

]]=[-

3

2

•（-2）]=[3]=3，
∴f（-

3

2

）≠f（

3

2

），f（-

3

2

）≠-f（

3

2

），故f（x）為非奇非偶函數．（4分）
（2）當-2≤x＜-1時，[x]=-2，則2＜x[x]≤4，∴f（x）可取2，3，4；
當-1≤x＜0時，[x]=-1，則0＜x[x]≤1，∴f（x）可取0，1；
當0≤x＜1時，[x]=0，則x[x]=0，∴f（x）=0；
當1≤x＜2時，[x]=1，則1≤x[x]＜2，∴f（x）=1；
當2≤x＜3時，[x]=2，則4≤x[x]＜6，∴f（x）可取4，5；
又f（3）=[3[3]]=9，
故所求f（x）的值域為{0，1，2，3，4，5，9}，（9分）
（3）當n＜x＜n+1時，[x]=n，則 n²＜x[x]＜n（n+1），
故f（x）可取n²，n²+1，n²+2，…，n²+n-1，
當x=n+1時，f（n+1）=（n+1）²，
又當x∈[0，n]時，顯然有f（x）≤n²．
因此，可得a_n+1=a_n+n，又由（2）知，a₁=2，
∴a_n=（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）+a₁
=（2-1）+（3-1）+（4-1）+1…+（n-1）+2
=

(n-1)(1+n-1)

2

+2=

n2-n+4

2

（14分）