已知:函數(shù)f(x)=[x[x]](x∈R),其中[x]表示不超過x的最大整數(shù).
如[-2.1]=-3,[-3]=-3,[2.5]=2.
(1)判斷f(x)的奇偶性;
(2)若x∈[-2,3],求f(x)的值域;
(3)若x∈[0,n](n∈N*),f(x)的值域為An,現(xiàn)將An,中的元素的個數(shù)記為an.試求an+1與an的關(guān)系,并進一步求出an的表達式.
分析:(1)根據(jù)函數(shù)f(x)=[x[x]](x∈R)的定義可得:f(-
)≠f(
),f(-
)≠-f(
),故f(x)為非奇非偶函數(shù);
(2)先對x的取值進行分類討論:當-2≤x<-1時;當-1≤x<0時;當0≤x<1時;當1≤x<2時;當2≤x<3時;故所求f(x)的值域為{0,1,2,3,4,5,9};
(3)分類討論:當n<x<n+1時;當x=n+1時;因此,可得a
n+1=a
n+n,又由(2)知,a
1=2,利用a
n=(a
2-a
1)+(a
3-a
2)+…+(a
n-a
n-1)+a
1求出a
n的表達式即可.
解答:解:(1)∵f(
)=[
[
]]=[
•1]=[
]=1,
f(-
)=[-
[-
]]=[-
•(-2)]=[3]=3,
∴f(-
)≠f(
),f(-
)≠-f(
),故f(x)為非奇非偶函數(shù).(4分)
(2)當-2≤x<-1時,[x]=-2,則2<x[x]≤4,∴f(x)可取2,3,4;
當-1≤x<0時,[x]=-1,則0<x[x]≤1,∴f(x)可取0,1;
當0≤x<1時,[x]=0,則x[x]=0,∴f(x)=0;
當1≤x<2時,[x]=1,則1≤x[x]<2,∴f(x)=1;
當2≤x<3時,[x]=2,則4≤x[x]<6,∴f(x)可取4,5;
又f(3)=[3[3]]=9,
故所求f(x)的值域為{0,1,2,3,4,5,9},(9分)
(3)當n<x<n+1時,[x]=n,則 n
2<x[x]<n(n+1),
故f(x)可取n
2,n
2+1,n
2+2,…,n
2+n-1,
當x=n+1時,f(n+1)=(n+1)
2,
又當x∈[0,n]時,顯然有f(x)≤n
2.
因此,可得a
n+1=a
n+n,又由(2)知,a
1=2,
∴a
n=(a
2-a
1)+(a
3-a
2)+…+(a
n-a
n-1)+a
1=(2-1)+(3-1)+(4-1)+1…+(n-1)+2
=
+2=
(14分)
點評:本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.