已知:函數(shù)f(x)=[x[x]](x∈R),其中[x]表示不超過x的最大整數(shù).
如[-2.1]=-3,[-3]=-3,[2.5]=2.
(1)判斷f(x)的奇偶性;
(2)若x∈[-2,3],求f(x)的值域;
(3)若x∈[0,n](n∈N*),f(x)的值域?yàn)锳n,現(xiàn)將An,中的元素的個(gè)數(shù)記為an.試求an+1與an的關(guān)系,并進(jìn)一步求出an的表達(dá)式.
【答案】分析:(1)根據(jù)函數(shù)f(x)=[x[x]](x∈R)的定義可得:f(-)≠f(),f(-)≠-f(),故f(x)為非奇非偶函數(shù);
(2)先對x的取值進(jìn)行分類討論:當(dāng)-2≤x<-1時(shí);當(dāng)-1≤x<0時(shí);當(dāng)0≤x<1時(shí);當(dāng)1≤x<2時(shí);當(dāng)2≤x<3時(shí);故所求f(x)的值域?yàn)閧0,1,2,3,4,5,9};
(3)分類討論:當(dāng)n<x<n+1時(shí);當(dāng)x=n+1時(shí);因此,可得an+1=an+n,又由(2)知,a1=2,利用an=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)+a1求出an的表達(dá)式即可.
解答:解:(1)∵f()=[[]]=[•1]=[]=1,
f(-)=[-[-]]=[-•(-2)]=[3]=3,
∴f(-)≠f(),f(-)≠-f(),故f(x)為非奇非偶函數(shù).(4分)
(2)當(dāng)-2≤x<-1時(shí),[x]=-2,則2<x[x]≤4,∴f(x)可取2,3,4;
當(dāng)-1≤x<0時(shí),[x]=-1,則0<x[x]≤1,∴f(x)可取0,1;
當(dāng)0≤x<1時(shí),[x]=0,則x[x]=0,∴f(x)=0;
當(dāng)1≤x<2時(shí),[x]=1,則1≤x[x]<2,∴f(x)=1;
當(dāng)2≤x<3時(shí),[x]=2,則4≤x[x]<6,∴f(x)可取4,5;
又f(3)=[3[3]]=9,
故所求f(x)的值域?yàn)閧0,1,2,3,4,5,9},(9分)
(3)當(dāng)n<x<n+1時(shí),[x]=n,則 n2<x[x]<n(n+1),
故f(x)可取n2,n2+1,n2+2,…,n2+n-1,
當(dāng)x=n+1時(shí),f(n+1)=(n+1)2,
又當(dāng)x∈[0,n]時(shí),顯然有f(x)≤n2
因此,可得an+1=an+n,又由(2)知,a1=2,
∴an=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)+a1
=(2-1)+(3-1)+(4-1)+1…+(n-1)+2
==(14分)
點(diǎn)評:本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
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已知奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上有意義,且在(0,+∞)上是減函數(shù),f(1)=0,又有函數(shù)g(θ)=sin2θ+mcosθ-2m,θ∈[0,
π2
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(2)求M∩N.

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(1)求f(x)在(-1,1)上的解析式;
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1
2
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2
2
)
,則f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞

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